CH03 力学量用算符表示.pdf

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1、CH3力学量用算符表示Purposesandrequirements1.Tomaster:厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数。2.Tounderstand:算符的运算规则。3.Toknow:连续谱本征函数的“归一化”。Homework见QQ群作业3.1算符的运算规则量子力学的力学量可以用算符来表示，即F(p,r)~Fˆ(i,r)例如哈密尔顿能量算符：22pˆ2HˆV(r)V(r)2m2m能量算符Hˆit1算符的定义表示运算的符号叫算符，又叫作用量。d*如，，,()等dx线性算符：

2、如果算符Â满足下列条件Aˆ(cc)cAˆcAˆ11221122（c、c为任意复常数）12则算符Â是线性算符linearoperator描述可观测物理量的算符都是线性算符。ˆ如pi是线性的，是线性的但容易证明不是线性算符*Question()是线性算符吗？Answer不是。因为(cc)*c**c**11221122（通常）cc**11222、算符的运算性质（1）算符相等ˆˆAB对于任意的波函数都成立，则AˆBˆ（特例：若I，则I称为单位算符）（2）算符相加(AˆBˆ

3、)AˆBˆ交换律和结合律AˆBˆBˆAˆAˆ(BˆCˆ)(AˆBˆ)Cˆ(3)算符相乘Aˆ(Bˆ)(AˆBˆ)运算依次从右向左进行。d运算xpˆixxdx注意：算符的乘积一般不对易，即AˆBˆBˆAˆQuestionxpˆpˆx?xxddpˆxxi(x)i(x)Answerdxdxxpˆpˆxxx（4）算符对易commutation如果算符Aˆ、Bˆ满足关系[Aˆ,Bˆ]AˆBˆBˆAˆ0即AˆBˆBˆAˆ则称算符Aˆ、Bˆ对易（commu

4、table）。提示：讨论两个算符是否对易，一般是将它们作用在任意波函数上，看它们是否相等。若相等，则对易。Discussion位置算符和动量算符的对易关系d对任意波函数xpˆxixdxdpˆxiixxdx令xpˆpˆx[x,pˆ]xxx显然[x,pˆ]ix即[x,pˆ]ix这就是位置算符x和动量算符pˆ的对易关系x类似可证基本对易关系[x,p]i,x,y,z或1,2,3对易关系的运算性质：1)[Aˆ,Bˆ][Bˆ,Aˆ]2)[Aˆ,BˆCˆ][Aˆ,

5、Bˆ][Aˆ,Cˆ]3)[Aˆ,BˆCˆ]Bˆ[Aˆ,Cˆ][Aˆ,Bˆ]Cˆ(Proveit!)[AˆBˆ,Cˆ]Aˆ[Bˆ,Cˆ][Aˆ,Cˆ]Bˆ4)[Aˆ,[Bˆ,Cˆ]][Bˆ,[Cˆ,Aˆ]][Cˆ,[Aˆ,Bˆ]]0Jacobi恒等式：（5）角动量算符的对易关系角动量Lˆrpˆir在直角坐标系中的分量表达式Lˆypˆzpˆi(yz)xzyzyLˆzpˆxpˆi(zx)yxzxzLˆxpˆypˆi(xy)zyxyx讨论：

6、角动量与坐标的对易关系(A)[Lˆ,x]？x[Lˆ,x][ypˆzpˆ,x]xzy[ypˆ,x][zpˆ,x]zyy[pˆ,x][y,x]pˆz[pˆ,x][z,x]pˆzzyy[x,p]i,x,y,z或1,2,3[Lˆ,x]0x(B)[Lˆ,y]？x[Lˆ,y][ypˆzpˆ,yxzy[ypˆ,y][zpˆ,y]zyy[pˆ,y][y,y]pˆz[pˆ,y][z,y]pˆzzyy[x,p]i,x,y,z或1,2,3[Lˆ,y]000i

7、zx可概括出对易关系[Lˆ,xˆ]ixˆ这里称为LeviCivita符号。1123其中,,1,2,3或x,y,z。因为任何两个指标换位时都变号，故若有两指标相同则为0，如0.112121类似可得角动量分量与动量分量的对易关系：[Lˆ,pˆ]ipˆ[Lˆ,Lˆ]iLˆˆˆˆ即，LLiL（可作为角动量算符的定义）ˆˆ若定义角动量算符L的模方（L的平方）22Lˆ2Lˆ2Lˆ2LˆLˆLˆ

8、Lˆxyz2则[Lˆ,Lˆ]0,x,y,z22例试证明对易关系：[Lˆ,Lˆ]0y证明：2222222原式左边[LˆLˆLˆ,Lˆ][LˆLˆ,Lˆ]xyzyxzy2222[Lˆ,Lˆ][Lˆ,Lˆ]xyzy2222Lˆ[Lˆ,Lˆ]