部分线性模型基于参数信息的统计推断.pdf

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1、万方数据第39卷第19期数学的实践与认识2009年10月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYVoI．39No．19October，2009部分线性模型基于参数信息的统计推断魏传华1，李静2，吴喜之3(1．中央民族大学理学院，北京100081)(2．中国劳动关系学院基础部，北京100044)(3．中国人民大学统计学院，北京100872)摘要：针对部分线性模型提出了一种新的估计方法一Profile局部最小二乘估计。方法结合了非参数部分的参数信息．另外对于部分线性模型中非参数部分是否为某一参数函数的检验问题，基

2、于比较原假设与备择假设下模型拟合的残差平方和的思想构造了检验统计量，并给出了计算检验P一值的精确方法和三阶矩z2逼近方法．关键词：部分线性模型；Profile局部最小二乘估计；残差平方和；三阶矩z2逼近1引言数据分析中，大量问题涉及两组变量间的关系的研究．回归分析作为解决此类问题的一个有效的统计方法而得到十分广泛的应用，然而其主要理论大都是关于参数回归模型的．由回归分析的经典理论可知，回归函数的不正确设定会导致推断的严重错误．为了更好的探求变量之间蕴涵的复杂关系，近二十年来，借助于计算机强大计算能力而发展起来的非参数和．半参数模

3、型得到了人们的广泛关注．其中得到研究最多的一类半参数模型是Engleetal⋯在研究气温与用电量之间关系时提出的部分线性模型．这类半参数模型的一般形式为Y。一z●卢+厂(丁，)+￡；，i=1，2，⋯，，z(1)其中Y．为因变量观测值。z，=(zn，z∞⋯，z咖)T和t。为自变量观测值，不失一般性。我们假定t为一维变量．p=(卢。，卢：，⋯，良)T为p维未知待估参数向量，，(·)为未知函数，￡，为模型误差．对于模型(1)，已经有多种方法提出用以估计其中的未知参数p和未知函数厂(·)，具体内容可参考文[2—7]．值得注意的是现有方法

4、在模型中的估计中都是假定非线性部分厂(·)完全未知，从而对其利用某种非参数光滑方法进行估计．利用回归分析处理实际数据时，若我们主观的将因变量与自变量之间的关系设定为参数关系，那么很多情况下我们对问题的分析要冒较大的风险，甚至得出不合实际的结论．但如果置经验于不顾而利用非参数回归模型，那么对回归函数假设放宽的代价是拟合相应的非参数回归模型的计算量的增加，以及当某个参数模型适合于所分析的数据时，非参数模型收稿日期：2007—03—28基金项目：中央民族大学“211工程”项目(021211030312)I国家社会科学基金(07cTJ0

5、03)；国家自然科学基金重点资助项目(10431010)、-；，，～究一～～研一-t^^^^～万方数据19期魏传华，等：部分线性模型基于参数信息的统计推断163便没有参数模型那么有效．针对这一两难问题，很多作者提出了将参数估计与非参数估计相结合的方法，一些具体的方法可参考文[8—10]．其中Gozalo和Linton[93提出的局部最小二方法以其良好的性质得到了人们的重视。该方法以局部多项式估计(包括核估计)为特例，而且未知函数的估计为白适应估计．为了能更好的分析数据，本文将针对部分线性模型(1)提出Profile局部最小二乘估

6、计方法，该方法的特点是首先根据数据本身或者经验将未知函数厂(·)设定为参数形式，然后结合Gozalo和Linton[93提出的局部最小二乘法来估计未知参数p和未知函数厂(·)．本文第2节将给出模型(1)的Profile局部最dx--乘估计，第3节将利用这种估计方法讨论非参数部分的检验问题．2Profile局部最dx--乘估计对于部分线性模型(1)中的未知非参数部分，(·)，首先根据经验或者数据本身提供的信息，我们将其设定为如下的参数形式f(T，)一gl(7’i)口l+92(丁i)0z+⋯+g。(T，)0q—gT(7T，)曰(2)

7、其中g。(丁，)，⋯，g。(7’i)是一列线性无关的已知函数，这保证了模型是可识别的．另外有g(丁i)=(gl(71f)，⋯，g。(丁，))。。，0=(口l，⋯，以)．首先假定模型(1)中p已知，则模型(1)转化为如下形式的非参数回归模型Yi。=／’(丁i)+白，i一1，2，⋯，，z(3)其中Yi*一Yr—xfp．对于非参数回归模型(3)，结合厂(·)的参数设定(2)，利用Gozalo和Linton[9]的局部加权最dx-乘法可得厂(丁，)的估计值为f(7’．)=gT(丁，)移(丁i)其中0(Ti)为针对0(7’i)使∑{y，一

8、gT(丁，)曰(7'，)}2K一(Tj—T。)(4)J=1达到最小得到．其中K一(·)一K(·肛)／h，K是核函数，h是窗宽．为了叙述方便，我们采用下面的矩阵形式，记X==f-gT(丁1)r、IgT(丁。)一一l；bT(丁。)，f=丁1712；丁。￡l￡2：●￡