半参数变系数部分线性模型的统计推断

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1、赵培信：半参数变系数部分线性模型的统计推断法，并且在没有欠光滑的条件下，证明了所构造的经验对数似然比统计量均渐近服从标准卡方分布．因此，在估计过程中可以利用数据驱动的方法选择最优带宽．其次，在模型的参数分量和非参数分量均含有测量误差的情况下，研究了半参数变系数部分线性EV模型的变量选择问题，提出了一个“纠偏”的变量选择方法．通过选择适当的惩罚参数，证明了该变量选择方法可以相合地识别出真实模型，并且所得的正则估计具有oracle性质．另外，对响应变量随机缺失下的半参数变系数部分线性模型的变量选择问题进行了研究．结合基函数逼近以及惩罚借补估计方程，提出了一个变量选择方法．证明了所提出

2、的变量选择方法可以相合地识别出真实模型，并且对回归系数的正则估计达到了最优的收敛速度．在博士论文之后，我们继续对该模型的变量选择问题进行了研究．利用SCAD(smoothlyclippedabsolutedeviation)惩罚估计方法【12]研究了纵向数据下半参数变系数部分线性模型的变量选择问题，提出了一个基于分组的变量选择方法[13】．并且利用SEE(smooth．thresholdestimatingequation)变量选择方法【14]研究了带有工具变量的变系数模型的变量选择问题，提出了一个改进的SEE变量选择过程[15]．另外对协变量含有测量误差的变系数模型，我们还提出

3、了一个工具变量类型的经验似然统计推断过程[16]．2半参数变系数部分线性模型的经验似然推断2．1纵向数据下半参数变系数部分线性模型的经验似然推断考虑含有礼个个体的样本，并且对第i个个体，在时间点t=til⋯．，tii=1⋯．，n对响应变量(t)以及协变量xi(t)和(t)进行观测，其中nt表示对第i个个体总的观测次数．那么纵向数据下的半参数变系数部分线性模型可写为()=(玎)TO(tij)+Zi(tid)T+Ci()，J=1，⋯，，i=1，⋯，n，(2．1)其中(·)=(o1(·)⋯．，(·))T为PX1未知的函数系数向量，=(1⋯．，)T为q×1未知的参数向量，ei(tij)为

4、模型误差，并且满足E{ei(t~j)It()，(玎))=0．本文假定对来自不同个体的样本是相互独立的，而来自同一个体的样本可以存在相关性．另外，在渐近理论研究中，假定n是有界的，而个体的总数n是趋于无穷的．类似文献[IT]，我们引入计数过程^(t)=∑n仁i1I(tij≤t)来刻画对第i个个体的观测次数，其中(．)为示性函数．具体地，我们把对个体的观测次数看成某一带删失的计数过程的实现，即(t)=孵{min(t，))，其中为可以依赖协变量Xi(t)以及()的删失时问．记／、T：f1()⋯(tnnn＼＼(≠11一t)X1(t11)⋯(一￡)(t)／为Ⅳ×2p矩阵，Qt=diag{K

5、h(t—tl1)⋯．，Kh(t—tnnn))为N×N对角矩阵，其中N=∑仁n1ni．另外记(，Op)(DTatDt)_。DTI2t三(Sll(t)⋯．，S1()⋯．，sn(￡))，其中为PXP单位矩阵，0为P×P零矩阵．那么(￡)的局部线性估计可写为竹礼=∑∑S~t(t)[Yk(tk1)一(￡f)(2．2)中国科学：数学第43卷第7期把(2．2)代入模型(2．1)，并经简单计算可得()=磊()T+()，(2．3)其中磊()=(巧)一()T(巧)，(巧)=()一五(巧)T()，(￡)：∑1∑1Skl(t)Zk(tz)，()=∑：1∑罂1Skl(t)Yk(tkz)．为了构造的经验似然

6、比函数，我们引入如下辅助随机向量：()=／磊()(t)一磊(￡)T例d()．(2．4)J0由(2．3)可知，如果是参数真值，那么E{())=o(1)．利用此信息，我们可以定义关于的经验似然比函数为()=-2max{∑log(npt)』P≥0，∑=1，∑Pt硗()=0}．对纵向数据，尽管来自不同个体的样本是相互独立的，但是每个个体内部的数据往往是相关的．我们通过引入计数过程()把数据分为仡组，从而保证了基于(2．4)所构造的辅助随机向量()，i=1⋯．，n是相互独立的，因此，可以构造关于的经验似然比函数．这种构造方法可以有效地处理纵向数据的组内相关性给构造经验似然比函数所带来的困难

7、．下面的定理说明我们所构造的经验对数似然比函数渐近服从标准卡方分布．下面首先给出一些正则条件：A1带宽满足h=Cn一1／5，其中C>0为某个正常数；A2核函数(．)是对称的概率核函数，且满足rt4K(t)dt