半相依部分线性可加回归模型的统计推断

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1、数学年刊2013，34A(4)：451478半相依部分线性可加回归模型的统计推断冰徐群芳徐勤丰提要受实际问题研究的启发，为减少模型偏差，提出了一类半相依部分线性可加的半参数回归模型．这类半相依模型中，响应变量与一部分解释变量之间的关系是线性的，与另一部分解释变量之间的关系未知但具有可加结构，各方程的误差之间是相关的．将级数逼近法、最／5-乘法和同期相关的估计结合起来，提出了用于估计模型参数分量的加权半参数最I]~--乘估计量(WSLSEs)，和用于估计模型非参数分量的加权级数逼近估计量(WSEs)．证明了这些加权的估计量比相应的不加权的估计量渐近有效，并导出了相

2、应的渐近正态性．另外，还讨论了利用这些估计量的渐近性质来对模型的参数及非参数分量作统计推断．用大量的模拟实验考察了所提出的方法在有限样本情况下的表现，并对美国的一个关于妇女工资问题的全国纵向调查(NLS)数据集进行了统计分析．关键词半参数回归，可加模型，半相依模型，级数逼近估计，加权估计MR(2000)主题分类62G08，62J02中图法分类O212．7，0212．4文献标志码A文章编号1000—8314(2013)04—0451—28口半相依回归(SeeminglyUnrelatedRegression，SUR)模型由Zellner在1962年首先提出[1-2

3、】，是用来分析扰动项相关的一组联立方程的标准工具．这类方程间的相关性通常被称为同期相关，其中含有额外信息．若对模型中各方程分别进行估计，则无法利用同期相关信息．但若将多个方程联合起来估计，则有可能利用同期相关信息获得更好的估计．半相依模型在许多领域都有广泛的应用，例如生物学、经济学、教育学、社会科学等．对该模型的估计、检验等统计推断方法的研究已形成一类文献，包括文[1—20】等．经典的半相依线性回归模型具有如下形式：J=zJ+E，i=1，·一，n，J=1，⋯，m(1．1)其中J是响应变量，z=(Zijl，⋯，J。J)T是解释变量，=(1，⋯，J)T是未知的sJ一

4、维参数向量，￡是随机误差，满足E(E巧)：0，E(dj)=，E(eijE)=J。且当il≠i2时，E(J￡。)=0．线性回归模型的优点是，若模型设定正确，则易于解释，且其参数估计的效率较高．然而，模型设定错误会导致参数估计有偏．为减少模型偏差，允许响应变量与一部分解释变量间的关系为线性的，而与另一部分解释变量间的关本文2011年l1月6日收到，2013年3月6日收到修改稿．上海财经大学统计与管理学院，上海200433；浙江农林大学理学院，浙江临安311300．E—mail：tsunfangxu@163．com通讯作者．复旦大学管理学院统计学系，上海200433．

5、E-mail：qfxu@fudan．edu．ca本文受到国家自然科学基金(No．11071154)，教育部人文与社会科学青年基金(No．10YJC910008)和上海财经大学创新基金(No．CxJJ．2010—350)的资助．数学年刊34卷A辑系非线性且未知，这是线性回归的一个自然推广．因此，本文研究以下半相依部分线性可加回归模型：=x+j1(J1)+⋯+jqj(jqJ)+￡，i=1，⋯，n，J=1，⋯，m，(1．2)其中解释变量Zij=(x5，u)T，x是向量z巧的前Pj维分量，Uij=(J1，⋯，Jq)T是余下的=st—Pj维分量．=(1，⋯，)T是维未知参

6、数向量，cUd(．)是未知函数，d=1，⋯，q5，其他符号与其在模型(1．1)中的含义相同．另外，为使模型可识别，我们规定Ea3d(fd)=0．我们用一个实际例子来说明考虑半相依部分线性可加回归模型的必要性．美国劳工部所作的全国纵向调查(NLS)中有一个关于妇女工资的数据库，1968年这些被调查的妇女年龄在14岁到24岁之间．类似于文[21】，我们取数据库中1982年和1987年的部分调查数据作分析．所取数据子集共包括716名妇女，5个变量，它们分别是调查的年份、工资与国民生产总值平减指数之比的对数、全部工作经历、工作时间和一个是否加入工会的哑变量(加入工会用1

7、表示，未加入工会用0表示)．分析该数据子集的一个目的是，考察全部工作经历、工作时间及是否加入工会这3个变量对妇女工资的影响在80年代初和80年代末是否有显著差异．众所周知，全部工作经历和工作时间这两个变量对于响应变量工资与国民生产总值平减指数之比的对数的影响是非线性的．文[21】用了两个二次函数来拟合该非线性效应．若使用本文提出的模型(1．2)，则可以放松这类二次效应的假定，让数据来说话．显然，模型(1．2)包含了诸多参数、非参数和半参数回归模型．例如，当对所有的J=1，⋯，m和d=1，⋯，都有oLjd(-)三0时，则模型(1．2)退化为半相依线性回归模型[1-

8、2,5-6】．当m=1时