《部分函数线性模型的经验似然推断》.pdf

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1、应用概率统计第三十一卷ChineseJournalofAppliedProbability第二期2015年4月andStatisticsVo1．31No．2Apr．2015部分函数线性模型的经验似然推断木胡玉萍，2冯三营薛留根(北京工业大学应用数理学院，北京，100124；郑州大学数学与统计学院，郑州，450001)摘要本文考虑部分函数线性回归模型，研究了回归系数的经验似然推断，证明了所提出的经验对数似然比渐近于x。分布，此结果可以用来构造了相应兴趣参数的置信域．另外，本文也给出了系数函数的极大经验

2、似然估计，并在适当条件下给出了所提出估计量的收敛速度．仅就置信域精度及其覆盖概率大小方面，通过模拟研究和实例分析比较了经验似然方法与最小二乘方法的优劣．关键词：部分函数线性模型，经验似然，函数型数据，置信域．学科分类号：O212．7．§1．引言函数型数据分析最初是FhMcGill大学的心理学与统计学教授Ramsay和Bristol大学的统计学教授Silverman(见Ramsay和Silverman，1997)共同提出的，现已广泛应用于经济学，生物学，气象学，心理学及其他领域．本文考虑部分函数线性模

3、型，1Y=z+／7(t)x(t)at+，(1．1)0其中y是定义在概率空间(Q，，P)上的实值响应变量，Z是取值于上的可观测随机向量，并且期望为零，二阶矩有限，(t)是定义在(Q，，P)h的随机过程，E((t))=0，EX2(t)

4、1999)，Cai和Hall(2006)，Li和Hsing(2007)，Hall和Horowitz(2007)等提出用函数主成分分析来研究函数线性模型，并且研究了估计的渐近性质．Zhang等(2007)讨论了混合数据的线性模型，Aneiros—Pdrez~IVieu(2006)研究了半函数部分线性模型，Shin(2009)i~rJm=]=成分基函数展开及最小二乘进一步研究了部分函数线性模型中参数估计的渐近性质．’国家自然科学基金(11171012，11331011)、高等学校博士学科点专项科研基金(

5、2012l1O3l10004)、全国统计科学研究重点项目(2014LZ45)、河南省科技厅基础与前沿研究(122300413202)、北京工业大学第十三届研究生科技基金重点项目(ykj．20110722)和北京工业大学博士生创新基金资助．本文2014年1月20日收到，2014年6月24日收到修改稿．doi：10．3969／j．issn．1001—4268．2015．02．004第二期胡玉萍冯三营薛留根：部分函数线性模型的经验似然推断147本文采用Owen(1988，1990)提出的经验似然技术来构造

6、的置信域，并给出7()的极大经验似然估计．经验似然在许多方面优于正态逼近方法，一是它没有涉及到方差估计，二是它没有对置信域的形状施加约束，而是由数据白行决定其形状．许多统计学者已经把经验似然方法应用到了各种模型．Owen(1991)把经验似然用到线性回归模型，Ko—laczyk(1994)进一步将它推广到了广义线性模型，Wang与Jing(1999)~Shi与Lau(2000)考虑了固定设计下部分线性模型中经验似然方法的应用，Cui与Chenf2003)构造了EV回归模型中未知参数的经验似然置信域；

7、Zhu和Xue(2006)研究了部分线性单指标模型中参数的经验似然置信域，其他一些相关的工作在QinSDLawless(1994)，Xue和Zhu(2005，2006)中看到．本文利用经验似然方法构造了模型(1．1)中未知参数的经验似然比统计量，在一定条件下证明了所提出的统计量具有渐近)(分布，并利用所得结果构造了参数的置信域．另外，本文也给出了系数函数7()的经验似然估计，并给出它的收敛速度．最后，通过模拟研究和实例分析说明在计算参数的置信区间长度及其覆盖概率大小方面本文所提方法优于最小二乘方法．

8、§2．方法与主要结果假设数据{(，)，)1是来自模型(1．1)的一组独立同分布的可观测随机样本，()为平方可积的协变量轨道，即r1=fiT+／()Xi(t)dt+Ci，(2．1)0其中是相互独立的模型误差，JtE(~i)=0，Var(Ci)=<∞，i：1，2⋯．，n．符号(·，·)和ll·I1分别表示。[0，1]空间的内积和范数，用Kx表示随机过程(t)的协方差函数，若Kx在×上连续，Mercer’S定理证明oOKx(s，t)=∑{(s)i()，i=1其中(九，)是协