双重广义线性模型的经验似然推断

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1、高校应用数学学报2015，30(1)：10—16双重广义线性模型的经验似然推断王子豪，吴刘仓，戴琳(昆明理工大学理学院，云南昆明650093)摘要：基于截面经验似然方法，将双重广义线性模型的拟似然估计方程作为截面经=、验似然比函数的约束条件，构造了均值模型和散度模型未知参数的置信区间．最后通过数据模拟，将该方法与正态逼近方法比较，说明了该方法是有效和可行的．：托越关键词：双重广义线性模型；经验似然；置信区间；0分布中图分类号：O212．1文献标识码：A文章编号：1000—4424(2015)01—0010—07§1引言广义线性模型是经典

2、线性回归模型的普遍化，它在生物、医学和经济、社会数据的统计分析上具有重要意义_1_．自Nelder和Wedderburn[2]首次引入广义线性一词后，引起了众多学者的关注．黄丽等[3】研究了对数正态分布下联合均值与散度广义线性模型的极大似然估计；吴刘仓等【j研究了StN分布下联合位置、尺度与偏度模型的极大似然估计．另一方面，在许多应用领域，特别在经济领域和工业产品的质量改进试验中，非常有必要对均值和散度同时建模．因此，Pregibon[5】提出了散度不等情况下的广义线性模型，即双重广义线性模型．考虑双重广义线性模型：其中和z分别为均值和

3、散度模型中解释变量的观测值，维数分别为p和口，夕(·)和(．)是已知的联系函数，(·)是方差函数，∈Rp，7∈R．Wang$1Zhang[。】研究了双重广义线性模型中仅均值模型的变量选择．Nelderi~'flLee[】运用扩展拟似然的方法同时估计出双重广义线性模型中的均值和散度．Gijbels等【】研究了双重广义非收稿日期：2014．07-12修回日期：2014．10—15基金项目：国家自然科学基金(11261025；11026209；41461026)；云南省自然科学基金(2011FZ0441王子豪等：双重广义线性模型的经验似然推断

4、11参数模型的估计问题．陈海露【9]研究了双重广义线性模型的参数估计与变量选择等．Xu等[10]研究了高维数据下双重广义线性模型的变量选择．目前据作者所知，大量的文献集中于双重广义线性模型点估计的相关研究，然而在某些实际具体问题中区间估计可能比点估计更有实用价值，而双重广义线性模型的区间估计还没有相关文献研究．另一方面，经验似然作为一种完全样本下的非参数统计推断方法，它有类似于bootstrap的抽样特性．由经验似然构造的置信区间具有域保持性、变换不变性，并且置信域的形状由数据自行决定，所以该方法成为当今统计研究的热点．该方法自Owen

5、[11-12]提出后被其他学者广为应用．Qin和Lawless[13]构造了估计方程中参数的经验似然比统计量，同时将经验似然推广到半参数模型中；Kolaczyk[14】将经验似然推广到了广义线性模型中．Wang~Jing[15】利用经验似然方法研究了部分线性回归模型，构造了模型中未知参数的置信域；You和Zhou[16】把经验似然方法应用到半参数变系数部分线性模型的统计推断；丁先文等【17J利用经验似然方法研究了非线性回归模型中参数的置信域问题；陈放等[18】利用经验似然方法研究了右删失数据下非线性回归模型的统计推断；冯三营等【】利用经

6、验似然方法构造了非线性半参数EV模型的经验似然置信域；杨宜平等【20】研究了在响应变量缺失的情况下，部分线性模型的经验似然推断．因此本文利用经验似然的方法研究了双重广义线性模型的区间估计．§2介绍了双重广义线性模型的扩展拟似然估计方法；§3利用经验似然的方法推导了双重广义线性模型下单个参数的置信区间和多个参数的置信区域；§4是经验似然方法与传统的正态逼近方法相比较，进行了模拟研究．模拟研究的结果表明在双重广义线性模型中经验似然方法较正态逼近方法平均覆盖率高．§2扩展拟似然估计在响应变量分布未知的情况下，wledderburn【21】提出

7、了拟似然方法来对参数进行估计．该方法通常应用于广义线性模型中【。．若响应变量服从指数族分布，表示为：c(yi)exp(yTOi—b(Oi))()，(2．1)其中样本(，yd(i≤i佗)相互独立，玑为q维，c(yi)>0与无关，通过下述关系与线性预测子发生关系：0()，(2．2)Zi=(zt)为已知p×口阵．拟似然方法是对(2．1)式的对数似然方程求极值，解m,0t的估计值．求解过程中，c(玑)与无关的常系数并不影响结果．而当方差或散度不等时，就不能将c(玑)视为一个不变的常量．c(玑)此时是一个包含散度参数的函数．因此，在方差或散度不等

8、时，需要扩展拟似然方法来进行参数估计．Nelder~Lee[23]构造了双重广义线性模型(1．1)的扩展拟似然函数Q+：舳卜一言2，3，其中是均值模型的偏差部分，定义为：=212高校应用数学学报第30卷第1