材料力学PDF课件 (12).pdf

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1、9.29.2三向应力状态简介三向应力状态简介1.1.应力状态矩阵应力状态矩阵σττxxyxzT=τστyxyyzττσzxzyz2.2.符号规定符号规定zyx拉应力为正，压应力为负。n3.3.斜截面上的应力矢量斜截面上的应力矢量zγTTαβp=nTp=Tnypσττnnxcosαxxxyxzxxn=n=cosβpy=τyxσyτyznyypττσnnzcosγzzxzyzzn4.4.法法向向应力分量应力分量zσp=T=TσpnnTnσxτxyτxznxyσ=(nnn)τστnxyzyxyyzyxτzxτzyσznzn5.5.切向应力分量切向应力分量zσp=T=Tτp

2、tnTtτtyσxτxyτxztxτ=(nnn)τστtxxyzyxyyzyτzxτzyσztz若有若有σσ1=σσ2=σσ3，，则称之为则称之为静水压力静水压力((hydrostatichydrostaticpress)press)状态。状态。静水压力状态的应力矩阵σσσσ00σT=0σ0=σEσ00σσ对于任意方位的斜截面，TTTTTT例讨论静水压σσ′′==nnTnTn==σσnnEnEn==σσnnnn==σσ力状态中斜截面TTTTTTττ′′==nnTtTt==σσnnEtEt==σσnntt==00上的正应力和切应力。即任意方位上的正应力均为σ，任意方位

3、上的切应力均为零。动脑又动脑又动笔动笔分析以下应力状态的主应力。5σ=8σ=7411σ=47σ=7228σ=−5σ=−733710σ=1087σ=10116=σ=88σ27624σ=−2σ=−10339.39.3双向应力状态下的应变分析双向应力状态下的应变分析ypa−PApb−PBBb正应变正应变ε=lim—–—–ε=lim—–—–xyPA→0PAPB→0PBβapα切应变切应变γxy=α+βPAx线应变以拉长为正，缩短为负；角应变以直角的减小量为正，增加量为负。1.1.应变状态矩阵应变状态矩阵σστστεγ2xyxyααxxyΓ=↑↑↑↑↑γxy2εy11εεγε

4、γxy2xyα2α2.2.斜方向上的应变斜方向上的应变正应变正应变yσ==nnTTTnTn=11(+)+11(−)cos2+sin2ασσσ=(σσ+σσ)+(σσ−σσ)cos2αα+ττsin2αααααα22xxyy22xxyyxyxyxTT111111εεαα==nnΓΓnnεεαα==((εεxx++εεyy))++((εεxx−−εεyy))cos2cos2αα++γγxyxysin2sin2αα222222切应变切应变从斜线起逆时针方向90°的减小量TT11yτταα==nnTtTtτταα==−−((σσxx−−σσyy))sin2sin2αα++τ

5、τxyxycos2cos2αα2211=nTTΓt111111αγγ=nΓt=−(−)sin2+cos2ααγγ=−(εε−εε)sin2αα+γγcos2ααxαxyxy2222α22xy22xy例边长为1的正方形发生如图的形变，γ为很小的数。求对角线AC的伸长量和∠CED的变化量。DD´CC´AD′−ADε=——––——––––=secγ−1yADEγ1254=1+–γ+—γ+L−1⇒0AαB224在小变形情况下，切应力对正应变的影响可以忽略不计。DCεx=0,εy=0,γxy=γα=π41π11–ε=L+––γsin––=––γ∆(AC)=––2γγπ4L2x

6、y222AB11π––γ=L+––γcos––=0∆(∠CED)=02π42xy23.3.主应变与主方向主应变与主方向正应变的极值称为正应变的极值称为主应变主应变。使正应变取极。使正应变取极值的方向称为值的方向称为主方向主方向。。22τxy1σx−σy2tg2α′=σα′=(σx+σy)±+τxyσx−σy2222γxy1ε−εγxyxytg2α′=εα′=(εx+εy)±+εx−εy222一定存在着相互正交的主方向。一定存在着相互正交的主方向。两个主方向间所夹的直角在变形过程中不两个主方向间所夹的直角在变形过程中不会

7、改变。会改变。εxγxy2γxz26.6.三向应变三向应变Γ=γyx2εyγyz2γzx2γzy2εz例边长为1的正方形发生如图的形变，γ为很小的数。求主方向和主应变。DD′CC´εx=0,εy=0,γxy=γα′=π4,3π4Eγ1π1对应于π/4的主应变ε=L+––γsin––=––γAαBπ422213π1的主应变ε=L+––γsin——=−––γ对应于3π/4的主应变3π42227.7.应变的测量应变的测量应变片应变片((straingage)straingage)直角应变花(rectangularrosette)111ε=––(ε+ε)+––(ε−ε)