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1、6暑期专题辅导材料四高一新课第一章集合集合论是整个现代数学的基础之一,高屮教材屮的集合概念屈朴素集合论的初步,主要学习集合的基本概念,掌握集合的语言。这种语言较之普通语言能更准确、简练、清晰地表达数学知识和逻辑联系,有利于加深对知识的理解和数学思维能力的提高。这一部分的知识有三段,集合及其表示方法,元素与集合的关系(属于、不属于);集合与集合的关系(包含、相等),子集、空集的概念;集合的运算(交、并、补),交集、并集、补集的概念。本节概念多,符号多,要注重辨析概念之间的差异和联系。集合屮最基本与最重要的概念是集
2、合的子、交、并、补的意义。熟练地正确使用各种符号,是我们必须掌握的基本技能。集合的运算,既是重点乂是难点。灵活地运川集合知识,深刻理解集合语言,强化集合语三种不同表达方式(普通语言、符号语言、图象语言即韦恩图)的互译训练,处理和解决内容广泛的数学问题,是我们学习这一•节内容的目的。1.1集合1・2子集、全集、补集1・3交集、并集一、知识点解析(一)集合1・集合的概念集合是数学屮最原始的概念之一,它和儿何屮的点、线、面一样,都是不加定义的,一组对彖的全体形式一个集合,也简称集。集合的元素具有三个特性:确定性:任意
3、给定的一个对象,都可判定它是不是某一给定集合的元索。如圆周率属于实数集,但不属于有理数集。而“好人”,“著名科学家”不能构成数学意义上的集合。互异性:给定的集合屮若有两个或两个以上的元索,则这集合屮任两个元索都是不相同的对彖,即任-•集合屮元索无重复现象。如方程x2-2a+1=0的解集为{1}。无序性:集合屮的元索是不排序的。例如集合{a,b}也可写作{b,a}。集合中的元索不一定只是数,还可以是任意的具体确定的事物,例如{北京,上海,天津,重庆}2.集合的表示法列举法:把集合中的每一个元素列举出来。当集合屮的
4、元素较少吋,可用列举法。有吋,规律性强的无限个数也可用列举法表示。描述法:把集合元索的公共属性描述出來,写在人括号内的方法。乂分为语言描述法和代表元索描述法。语言描述法的结构为:{具有性质P的事物}如{小于10的正奇数}等。代表元素描述法的结构为:{XIX具有性质P},如{yly=x2XG/?},表达函数y=x2的值域,即y的取值范囤,而{(x,y)/y=x1,xgR}则表示抛物线y=x2±的点组成的集合。3.符号“w”与“纟”的用法符号“w”与“纟”是表示元索与集合之问的从属关系的,它们不能表示集合与集合ZI
5、'可的包含关系。例如bg{a,b},c电{a,b}02.特定集合N={自然数}={非负整数},N+=M={正整数},Z二{整数},Q={有理数),R={实数),C={复数}。不含有任何元索的集合叫做空集,用0表示。(二)子集,全集,补集1.子集:对于两个集合A与B,如果集合A屮的任何一个元索都是集合B的元索,则集合A叫做集合B的子集。即任取XWA,若均有XgB成立,则A为B的子集,记作AoB3如果A是B的子集且B也是A的子集,则称A与B相等。即若A^B且3匚人则A=B0如果A是B的子集且A与B不相等,则称A是B
6、的真子集。即若ACB且AHB,则AHUB。空集0是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。2.全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元索,这个集合就可以看作一个全集。全集可以由我们白由规定,出于研究的需要,有时我们会以N为全集,有时会以R为全集,但在同一个问题屮只能有一个全集。3.补集:设S是一全集,A是S的一个子集,由S屮所有不属于A的元素组成的集合叫做S屮子集A的补集,记作CsA,即CsA={xxEsJJ-兀住A}4.若集合A有儿个元素,则它的所有子集的个数是2”。(三)交集、并集1.交集:
7、由所有属于集合A且属于集合B的元索所组成的集合,叫做A与B的交集,记作AnS={XIXeAXeS}c2.并集:由所有屈于集合A或属于集合B的元索所组成的集合,叫做A与B的并集,记作AUB={XIXeAXeB}3.必须熟练地用图形(韦恩veiw图)来表示子集、交集、并集和补集。4.常用的运算性质ARBcA,AplBcB,AdA=A,Ap
8、(/)=(/),AClBuBplA,aAbcacaUb,aUboBoaUb,aUb=bUa,aC
9、b=aoA§b,aUb=aob§a,ApB=A且AUB=AOA=BAACuA=0
10、,AUCuA=U,Cu(CuA)=A,Cu0=U,CuU=0,(CuA)U(CuB)=Cu(AnB),(CuA)A(CuB)=Cu(AUB)以上这些关系式均可用Venn图来验证。二、概念辨析例1・卜ill]命题屮正确的是()A.任何一个集合必有两个子集。B.任何一•个集合必有一个真子集。C.若两个集合的交集是空集,则这两个集合至少-■个是空集。D.若两个集合的交集是全集,则这两个集合都