高二数学暑假学习材料03

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1、专题辅导材料三复习（函数）一、要点透视函数是高中数学最重要的内容之一，它内涵丰富，不仅其自身涉及到较多的思想方法，而且运用函数去分析与解决其他数学问题也是历来高考热点之一。函数思想是解决数学问题的重要教学思想之一，它是一根主线，贯穿整个高中数学的全过程。主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性（周期性）、几个基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图象与性质——定义域、值域、奇偶性、单调性、图象的对称性等。数形结合思想是本章的最基本的数学思想，另外，分类讨论思想、化归

2、思想等也是本章的基本思想。二、典型例题解析例1．已知集合，。其中，，若，，映射使B中元素和A中元素对应。求和的值。解：A中元素对应B中元素，中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10。或又无解，而由解得，那么的象是，故综上所述：例2．判断下列各题中，函数与是不是同一函数？说明理由。①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，解：①的定义域是，而的定义域是R，与的定义域不同，与是两个不同的函数。②与的定义域都是R，又，即与的对应法则边相同，所以与是相同函数。③由于，，它们对应法则不同，所以与是不同函数。④⑥是不同函数

3、，的定义域是R，而的定义域是⑤是相同函数，与的定义域都，又，所以它们的对应法则也相同。13说明：定义域、值域、对应法则是函数的三大要素，定义域与对应法则确定则值域也随而定，故两个函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则（在本质上）相同。例3．求下列函数的定义域①②③解：①由结合右图：故原不等式的解集是②由或或解之得：或或或③由有，当时，当时，，则与同正或同负，故定义域为。说明：求由函数解析规定的定义域，主要考虑以下几个因素①分式的分母不为0；②偶次根式被开方式大于等于0；③对数真数大于0，底数大于

4、0且不等于1等。例4．①已知函数定义域为R，则的取值范围是②已知函数的定义域是，则函数的定义域是③若函数定义域是，则函数的定义域是④函数定义域是，则函数定义域是解：①由，则当时，显然；当时，要使，对任意恒成立，当且仅当即综上所述：的范围是②由，则，即函数的定义域是③由的定义域是，则，的定义域是13④由得，故的定义域是例5．函数的定义域是R，求实数m的取值范围。解：由对恒成立，即对任意恒成立。而（当且仅当时取“”）的取值范围是说明：对于恒成立问题，一般地，若，恒成立，的取值范围是；若，恒成立，则的取值范围是

5、，。例6．求下列函数的值域①②③④解：①由，故的值域是②令，则结合二次函数的图象得出函数值域是y③由8图象如右—305x故的值域是④函数的定义域是R。由有当时，无解，当时，即综上原函数的值域是。13例7．①是R上奇函数，解关于的不等式②函数的定义域为R，对任意，，都有，且时，，。求在上的最值。解：①是奇函数，对任意，即，故设，则由于，故在R上是单调增函数，其值域为又由由即故的解集是说明：本题在求值也可由直接求出，更加便捷。另外在解时，也可如下处理：节R上单调增，由则即又的解集是②由于对任意、，都有又是奇函

6、数。又设即即是R上单调减函数，而，例8．设，且，如果的定义域为，求的取值范围。解：由题意，得的解集为，即13在上恒成立。令，是减函数又，得的取值范围为当时，取最大值，故说明：转化为恒成立问题，再求的最大值——利用单调性例9．对的哪些值，函数的值域包含？解：当时，若，则无解；若，则总有解。故。当时，则方程，为使方程对有解，则对恒成立。设，，则在上是两个减函数的和，也是减函数，故当时，对总成立，方程总有解。综上所述，当且时，函数的值域包含例10．已知，试证明的图象上不存在两点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直。

7、解：由得，故函数的定义域是设图象上存在不同两点，，且，则，，，，，故函数在上为减函数，则垂直于y轴的直线与的图象至多有一个交点。所以，函数图象上不存在两点A、B，使直线AB与y轴垂直。说明：问题的实质是证明函数具有某种单调性。例11．已知在上为单调函数，求的取值范围。13解：在区间上任取、，则要使在上单调增，即当时，要，只要恒成立，由，应有，但条件，故与题设矛盾，舍去。同理，要使在上是减函数，即恒成立，即在恒成立，又由可得综上所述，时函数在上为单调减函数。说明：本题针对函数单调性，作逆向分析，将问题转化为

8、恒成立问题，对函数单调性的概念考查深入。例12．①解方程；②设、、是三角形的三边长，求证：解：①原方程即为构造函数，易知函数在R上是增函数，于是原方程化为由是单调增函数，故原方程的解是②设，则，在上是增函数，又即又说明：本题是函数单调性的应用。例13．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D，再回到A，设x表示点P的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数式。解：如图，当点P在AB边上运动点，；当点P在BC