首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案--非数学类.doc

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1、首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案（非数学类，2009）一、填空题（每小题5分，共20分）.（1）计算=_____________，其中区域由直线与两坐标轴所围三角形区域.（2）设是连续函数，满足，则=___________________.（3）曲面平行平面的切平面方程是________________________.（4）设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则=____________________.答案：，，，.二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.解：原式其中大括号内的极限是型未定式

2、，由法则，有于是原式=.三、（15分）设函数连续,，且,为常数，求并讨论在处的连续性.解：由题设，知，.令，得，从而由导数定义有由于，从而知在处连续.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）.证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.(1)左边，右边，所以(2)由于，.证法二：（1）根据公式，将曲线积分化为区域上的二重积分因为关于对称，所以，故.(2)由.五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解：根据二阶线性非齐次微分

3、方程解的结构的有关知识，由题设可知：与是相应齐次方程两个线性无关的解，且是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解法解法一：故此方程式将代入上式，得，因此所求方程为.解法二：故，是所求方程的通解，由，，消去得所求方程为.六、（10分）设抛物线过原点，当时，，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.解：因抛物线过原点，故由题设有.即，而.令，得，代入的表达式得.所以，又因及实际情况，当时，体积最小.七、（15分）已知满足（为正整数），且，求函数项级数之和.解

4、：先解一阶常系数微分方程，求出的表达式，然后再求的和.由已知条件可知是关于的一个一阶常系数线性微分方程，故其通解为，由条件，得，故，从而.，其收敛域为，当时，有，故当时，.于是，当时，有.八、（10分）求时，与等价的无穷大量.解：，.