首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案--数学类.doc

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1、首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（数学类，2010）一、填空题（共8分，每空2分.）（1）设，则=.（2）若关于的方程在区间中有惟一实数解，则常数.（3）设函数在区间上连续.由积分中值公式有.若导数存在且非零，则的值等于.（4）设，则=___12________.二、（10分）设在内有定义，在处可导，且.证明：.证：根据题目假设和泰劳展开式，我们有其中是的函数，。因此，对于任意给定的，存在，使得。对于任意自然数和，我们总有。取，对于上述给定的，便有。于是，。此式又可写成。令，对上式取极限即得第8页（共8页）和由的任意性，即得。

2、证毕。三、(12分)设在上一致连续，且对于固定的，当自然数时.证明函数序列在上一致收敛于0.证：由于在上一致连续，故对于任意给定的，存在一个使得取一个充分大的自然数，使得，并在中取个点:，其中。这样，对于每一个，。又由于，故对于每一个，存在一个使得，这里的是前面给定的。令，那么，其中。设是任意一点，这时总有一个使得。由在上一致连续性及可知，另一方面，我们已经知道这样，由后面证得的两个式子就得到第8页（共8页）注意到这里的的选取与点无关，这就证实了函数序列在上一致收敛于0。四、（12分）设，在内连续，在内连续有界，且满足条件：（1）当

3、时，；（2）在内与有二阶偏导数，和.证明：在D内处处成立.证：用反证法。假定该不等式在某一点不成立，我们将导出矛盾。令.那么，根据题目假设，当时，.这样，在内必然有最小值。设最小值在达到。根据反证法假设，我们有.(i)另一方面，根据题目假设，我们又有，(ii)其中是拉普拉斯算子：.式子（ii）在中处处成立，特别地在成立：.(iii)由(i)与(iii)可知，.(iv)但是，是的极小值点，应该有并因此这与（iv）矛盾。此矛盾证明了题目中的结论成立。证毕。五、（共10分，（1）和（2)各5分）分别设，.第8页（共8页）考虑积分与，定义.

4、（1)证明；（2)利用变量替换：计算积分I的值，并由此推出.证：显然，注意到上述级数在上的一致收敛性，我们有。由于在点收敛，故有。下面证明.在给定的变换下，，那么，变换的雅可比行列式，。假定正方形在给定变换下的像为，那么根据的图象以及被积函数的特征，我们有利用又得令第8页（共8页）那么。最后，我们得到。六、（13分）已知两直线的方程：，。（1）问：参数满足什么条件时，与是异面直线？（2）当与不重合时，求绕旋转所生成的旋转面的方程，并指出曲面的类型。解：（1）的方向向量分别为。分别取上的点。与是异面直线当且仅当矢量不共面，即，它们的混

5、合积不为零：，所以，与是异面直线当且仅当且。（2）假设是上任一点，于是必定是上一点绕旋转所生成的。由于与垂直，所以，①又由于在上，所以，，②因为经过坐标原点，所以，到原点的距离相等，故，，③将①，②，③联立，消去其中的：令，将用表示：，④将④代入①，得第8页（共8页），⑤当，即与不垂直时，解得，据此，再将④代入③，得到的方程：，当时，由⑤得，，这表明，在这个平面上。同时，将④代入③，有。由于可以是任意的，所以，这时，的方程为：，的类型：且时，与平行，是一柱面；且时，与相交，是一锥面（时是平面）；当且时，是单叶双曲面（时，是去掉一个圆

6、盘后的平面）。第8页（共8页）第8页（共8页）第8页（共8页）七、(20分)设均为阶半正定实对称矩阵，且满足.证明存在实可逆矩阵使得均为对角阵.证明（1）的秩为的情形：此时，为正定阵。于是存在可逆矩阵使得。因为是实对称矩阵，所以存在正交矩阵使得是对角矩阵。（4分）令，则有都是对角阵。（5分）（2）的秩为的情形：此时，存在实可逆矩阵使得。因为是实对称矩阵，所以，可以假定，其中是阶实对称矩阵。因为是阶实对称矩阵，所以存在阶正交矩阵，使得为对角阵。令，则可以表示为，其中是维列向量。为简化记号，我们不妨假定。如果，由于是半正定的，的各个主子

7、式均。考虑的含的各个2阶主子式，容易知道，。此时已经是对角阵了，如所需。现假设。显然，对于任意实数，可以通过合同变换同时化成对角阵当且仅当同一合同变换可以将同时化成对角阵。由于时，仍然是半正定矩阵，由（1），我们只需要证明：存在，是可逆矩阵即可。注意到，当都不是0时，行列式第8页（共8页）故只要足够大就能保证是可逆矩阵。从而可以通过合同变换同时化成对角阵。证毕。八、(15分)设是复数域上的维线性空间，是非零的线性函数，.若不存在使得，证明：任意的都可表为使得，.证明：记。由知。不失一般性，可令，。由，，知的系数矩阵之秩为2。因此其解

8、空间维数为，即。但，故有，即。现在，任意的都可表为，其中。注意到，因此，。证毕。第8页（共8页）