首届全国大学生数学竞赛决赛试卷--数学类.pdf

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1、首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（数学类，2010）一、填空题+∞ee−αx2−−βx2(1)设β>>α0，则dx=_____________.∫0x21(2)若关于x的方程kx+=>1(k0)在区间(0,+∞)内有惟一实数解，则常数2xk=_____________.x(3)设函数f()x在区间[,]ab上连续.由积分中值公式有∫f()tdt=−(xaf)()ξaξ−a()ax≤≤<ξb.若导数f′()a存在且非零，则lim的值等于_____________.++xa→x−aGGGGGGGGG(4)设()6abc×=i，则()

2、()abbcac+×+()i()+=_____________.二、设f()x在(1,1)−内有定义，在x=0处可导，且f(0)=0.证明:n⎛⎞′kf(0)lim∑f⎜⎟2=.n→∞k=1⎝⎠n2三、设f()x在[0,)∞上一致连续，且对于固定的x∈[0,)∞,当自然数n→∞时fxn()0+→.证明:函数序列{(fxnn+=)：1,2,}"在[0,1]上一致收敛于0.22四、设Dx=+{(,):yxy<1}，f(,)xy在D内连续，gxy(,)在D内连续有界，且满足22条件：(1)当xy+→1时，fxy(,)→+∞；2222

3、∂∂fff∂∂ggg(2)在D中f与g有二阶偏导数，+=e,+≥e.2222∂∂xy∂∂xy证明：f(,)xygxy≥(,)在D内处处成立.五、设Rx=≤{(,):0yx≤1;0≤y≤1}Rxε=≤{(,):0yx≤1−ε;0≤y≤1−ε}.dxdydxdy考虑积分I=∫∫R，Iε=∫∫R，定义I=lim+Iε.1−xyε1−xyε→0∞1（1）证明I=∑2；n=1n⎧1⎪⎪ux=+()yπ2∞12（2）利用变量替换：⎨计算积分I的值，并由此推出=∑2.⎪vy=−1()x6n=1n⎪⎩2xyzb−六、已知两直线的方程：Lxyz

4、:==，L′:==.（1）问：参数ab,满足什么条11a件时，L与L′是异面直线？（2）当L与L′不重合时，求L′绕L旋转所生成的旋转面π的方程，并指出曲面π的类型.七、设AB,均为n阶半正定实对称矩阵，且满足nA−≤1rank≤n.证明:存在实可逆矩TT阵C使得CACCBC和均为对角阵.八、设V是复数域C上的n维线性空间，fV:→C(j=1,2)是非零的线性函数,且线j性无关.证明:任意的α∈V都可表为α=+αα,使得12ff()α=()α，ff()α=()α.112221