首届全国大学生数学竞赛初赛非数学类试卷及答案.pdf

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1、首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（非数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.题号一二三四五六七八总分专业：满分205151510101510100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.线年级：一、填空题（每小题5分，共20分）.得分⎛y⎞(x+y)ln⎜1+⎟评阅人⎝x⎠（1）计算∫∫dxdy=_____________，其中封D1−x−y区域D由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形区域.2（2）设f()x

2、是连续函数，满足fx()3=−x2fxdx()−2，则∫0所在院校：密f()x=___________________.x22（3）曲面zy=+−2平行平面22xyz+−=0的切平面方程是2________________________.（4）设函数yyx=()由方程xefy()=eyln29确定，其中f具有二阶导数，身份证号：dy2且f′≠1，则2=____________________.dx1610[1−−f′()]yf2′′()y2答案：，3x−，22xyz+−−=50，−.153xf23[1−′()]y姓名：第

3、1页（共6页）xx2nxe得分ee+++"elim()x二、（5分）求极限，其中n是给定x→0n评阅人的正整数.xx2nxeee+++"e解：原式=limexp{ln()}x→0xnxx2nxeee(ln(+++−"e)ln)n=exp{lim}………………….….…（2分）x→0x0其中大括号内的极限是型未定式，由LHospital′法则，有0xx2nxxxnxeee(ln(+++−"e)ln)nee(2+++e"ne)lim=limxx2nxx→0xx→0ee+++"een(12+++")n+1==()en2n+1()

4、ee2于是原式=.……………………………………..…………..…(5分)1得分三、（15分）设函数()fx连续,gx()=∫fxtdt()，且0fx()评阅人lim=A,A为常数，求gx′()并讨论gx′()x→0x在x=0处的连续性.解：由题设，知f(0)=0，g(0)=0.…………….…………...…(2分)x∫f()udu0令ux=t，得gx()=(0x≠)，……………………………………..……（5分）xxxfx()−∫fudu()从而′=0(0x≠)…………………………………….……(8分)gx()2x由导数定义有

5、x∫fudu()f()xA′==0=g(0)limlim……………………………………….……(11分)2xx→→00xx22xxxfx()−∫∫fudu()fx()fudu()AA′′==00−=−==由于lim()lgximlimlimAg(0)，22xx→→00xxxx→→00x22从而知gx′()在x=0处连续.…………………………………………….……….(15分)第2页（共6页）得分四、（15分）已知平面区域Dx={(,)

6、0yx≤≤π,0≤≤yπ}，评阅人L为D的正向边界，试证：xedsinyxyy−=−ed−−

7、sinxxedsinyxyyedsinx（1）vv∫∫；LLsinyx−sin52（2）v∫xedy−≥yedxπ.2专业：L证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.ππ0sinyxx−−sinsinsinx(1)左边=−=+∫∫∫00πππedyπedx()eedx，...…(4分)ππ0−−sinyxsinsinxsinx右边=−=+∫∫∫00ππedyπedxπ()eedx，……..…（8分）xedsinyxyy−=−ed−−sinxxedsinyxyyedsinx所以vv∫∫.……………

8、………………(10分)线LLsinxx−sin2年级：(2)由于ee+≥2sin+x，…….…………………….…...(12分)π5sinyx−−sinsinxsinx2v∫∫xedy−=+≥yedxπ0()eedxπ.……..…….…(15分)2L封证法二：（1）根据Green公式，将曲线积分化为区域D上的二重积分sinyxy−−sinsinsinxv∫∫xedyy−=+edx∫()eedδ……………………………...…(4分)LD−−sinyxsinsinysinx所在院校：密v∫∫xedyy−=+edxeed∫()δ

9、………………………………(8分)LDsinyx−−sinsinyxsin因为关于y=x对称，所以∫∫()eedeed+=+δ∫∫()δ，故DDsinyx−−sinsinyxsinvv∫∫xedyy−=−edxxedyyedx.………………….……(10分)LL∞2ntt−t2(2)由ee+=22∑≥+t