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时间:2018-07-30
《首届中国大学生数学竞赛-非数学类答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷(非数学类,2009)一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算____________,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解令,则,,(*)令,则,,,,2.设是连续函数,且满足,则____________.解令,则,,解得。因此3.曲面平行平面的切平面方程是__________.解因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由,知,即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面平行平面的切平面方程是。4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则________________.解法
2、1方程的两边对求导,得即因,故,即,因此解法2方程取对数,得(1)方程(1)的两边对求导,得(2)即(3)方程(2)的两边对求导,得(4)将(3)代入(4),得将左边的第一项移到右边,得因此二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.解法1因故因此解法2因故三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性.解由和函数连续知,因,故,因此,当时,,故当时,,这表明在处连续.四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:(1);(2).证因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知(1)而关于和是对称的,即知因此(2)因故由知
3、即五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解设,,是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为,由和,知,二阶常系数线性非齐次微分方程为六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线过原点,故,于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为即令,得即因此,,.七、(15分)已知满足,且,求函数项级数
4、之和.解,即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知,,于是下面求级数的和:令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令,得,因此级数的和八、(10分)求时,与等价的无穷大量.解令,则因当,时,,故在上严格单调减。因此即又,,所以,当时,与等价的无穷大量是。
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