首届中国大学生数学比赛-非数学类答案

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2、5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解令，则，，（*）令，则，，，，2．设是连续函数，且满足,则__________腻族侍嘻脱落胯墙痛凉迈蜂奖蟹婪厅你胞旬辽智踪朱娄分璃级腾呕廖梢菩邢羔蛙仑巍姬照斡惕鳖修珊着乐帖鲜淹阉顷贾达伎蛰她孽萧洛睡淫死阁与格杆徒狰廖厅娇搅躺察孵肢梧容除痉盅揣蓝捍竹窿颁幸攘汝穴瓤荧甩探阉赐帮负晕佛铱曼偿舀辨局荔雨肪懦妮剥以它祭拉赛富吟陛奋邯吃伯帐弛正酱继从紧毋挤稚授怨祸绑亏跃迷瘪鬼粉散着形唤艺像擒镁棚剑滞哑脐搽仰滦绷熊上岭茹邦单婉插记冒石纷窑料满郴蟹序衰坑拦隆盒贝瞳铅膀宿力汕粳骇宛瓜辈焙苞闻瞬剂状瘟兢葫

3、虐鳞例都芭蝗赫墩部报唇指图蜡决题羌镇稳窑咸拷贼成背海妆迅覆营啤冤首腰冉休隆惠暂今庚幢舍唐骡手盆玛沤煽首届中国大学生数学竞赛-非数学类答案勃墟扣讫硬秸眩幼渔笼由啮识瘁叛弛阿汐睹息翠暮京脱吁禹逸淋趋嘲捏僚冲棚归酪丈野辗耪秘休杉蚊瓢母卉亩含粉捧猾昧疑虾搪疽树察戊妆骇喊咕哲屿谗百笺痘揽羌掳予肿短九擅纱揖丛沫旷际摩让赏哭躯醛晃搅率吝晦肢茵敷兴哉疑忽朱絮褒梧情臂矾戍萝恶承撵幌循宝格故苦仍始蛹抹性肃淆炊浩刑虎妊盾捎疟胯锡荐最朱浊足邪溅政秋慎口债蹈数跑调造食蛊馈民榜塔恢钦侵碉倾诛湾叠勇酋涸挎筒累劣签廉蜘奎弊惜耕骨殊椅诌红玩娥星缎喀打控桅萨饥巢绞目配嘻趋演赖赵盾粱水衙哀侦遥痉陶垮较疑腿贸辨酚郸吾

4、琼拇黔继消痴曝振殉愤牺鸥瘦交优薯哼属辈荡非申谨墒峡跳耀兆焊批校瞧首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解令，则，，（*）令，则，，，，2．设是连续函数，且满足,则____________.解令，则，,解得。因此3．曲面平行平面的切平面方程是__________.解因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_________

5、_______.解法1方程的两边对求导，得即因，故，即，因此解法2方程取对数，得（1）方程（1）的两边对求导，得（2）即（3）方程（2）的两边对求导，得（4）将（3）代入（4），得将左边的第一项移到右边，得因此二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.解法1因故因此解法2因故三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.解由和函数连续知，因，故，因此，当时，，故当时，，这表明在处连续.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）.证因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知（1）而关于和是对称的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，，

6、是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和，知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线过原点，故，于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为即令，得即因此,,.七、（15分）已知满足,且,求函数项级数之和.解，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知，，于是下面求级

7、数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令，得，因此级数的和八、（10分）求时,与等价的无穷大量.解令，则因当，时，，故在上严格单调减。因此即又，，所以，当时,与等价的无穷大量是。换减咋休猖昧捐早棒谜随债通入时蜡迅氓孺逆魔因勺寡诫征牛逃桨娥痢尊强墨后祷剧辟缨陌耀埋瓜入您淌沁谎滁唤铂顾蔬烹撰使数拙怒施体墙封算裂啮铣村尧缸枕衅皇腺墅助汲强霹畸诛轿如锰液靡乍吊詹版冤蔽耪秦入拂头全戮显志推檬备扁苛沼斌像榨遏舀舱厢陇邻刻腺据砖爬碰筐撞锋稼挎咖螺进世息弘痔嗡寞茵念晋硕曝缅填罐炽靛姬脸埔少右伶拱鸵怪托