首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案--非数学类.pdf

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1、首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案（非数学类，2009）一、填空题⎛y⎞(x+y)ln⎜1+⎟⎝x⎠（1）计算∫∫dxdy=_____________，其中区域D由直线x+y=1D1−x−y与两坐标轴所围三角形区域.22（2）设f()x是连续函数，满足fx()3=x−−∫fxdx()2，则0f()x=___________________.2x2（3）曲面zy=+−2平行平面22xyz+−=0的切平面方程是2________________________.fy()y（4）设函数()y=yx由方程xe=eln29确定，其中f具有二阶导数，2dy且f′≠1，则2=_____________

2、_______.dx216210[1−−f′()]yf′′()y答案：，3x−，22xyz+−−=50，−.23153xf[1−′()]yxx2nxeee+++"elim()x二、求极限，其中n是给定的正整数.x→0nxx2nxeee+++"e解：原式=limexp{ln()}x→0xnxx2nxeee(ln(+++−"e)ln)n=exp{lim}x→0x0其中大括号内的极限是型未定式，由LHospital′法则，有0xx2nxxxnxeee(ln(+++−"e)ln)nee(2+++e"ne)lim=limxx2nxx→0xx→0ee+++"een(12+++")n+1==()en2n+1

3、()ee2于是原式=.1fx()三、设函数()fx连续,gx()=∫fxtdt()，且lim=A,A为常数，求()gx′并0x→0x讨论gx′()在x=0处的连续性.解：由题设，知(0)f=0，g(0)=0.x∫f()udu0令ux=t，得gx()=(0x≠)，xxxf()x−∫f()udu从而′=0(0x≠)gx()2x由导数定义有x∫fudu()f()xA′==0=g(0)limlim2xx→→00xx22由于xxxfx()−∫∫fudu()fx()fudu()AA′′==00−=−==limgx()limlimlimAg(0)，22xx→→00xxxx→→00x22从而知()gx′在x=

4、0处连续.四、已知平面区域Dx=≤{(,)

5、0yx≤π,0≤y≤π}，L为D的正向边界，试证：sinyx−−sinsinyxsin（1）vv∫∫xedyy−=−edxxedyyedx；LLsinyx−sin52（2）v∫xedy−≥yedxπ.2L证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.ππ0sinyxx−−sinsinsinx(1)左边=−=+∫∫∫00πππedyπedx()eedx，ππ0−−sinyxsinsinxsinx右边=−=+∫∫∫00ππedyπedxπ()eedx，sinyx−−sinsinyxsin所以vv∫∫xedyy−=−edxxedyye

6、dxLLsinxx−sin2(2)由于ee+≥2sin+x，π5sinyx−−sinsinxsinx2v∫∫xedy−=+≥yedxπ0()eedxπ.2L证法二：（1）根据Green公式，将曲线积分化为区域D上的二重积分sinyxy−−sinsinsinxv∫∫xedyy−=+edx∫()eedδLD−−sinyxsinsinysinxv∫∫xedyy−=+edxeed∫()δLDsinyx−−sinsinyxsin因为关于yx=对称，所以∫∫()eedeed+=+δ∫∫()δ，故DDsinyx−−sinsinyxsinvv∫∫xedyy−=−edxxedyyedx.LL∞2ntt−t2(2

7、)由ee+=22∑≥+tn=0(2)!nsinyxy−−−sinsinsinxsinxsinx52v∫∫xedy−=+=+≥yedx∫∫()eedδ∫()eedδπ.2LDDx2xx−xx2xx−五、已知y1=+xee，yx2=+ee，y3=xe+−ee是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.2x解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知：e−xx与e是相应齐次方程两个线性无关的解，且xe是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解法解法一：故此方程式yyyfx′′′−−=2()x将y=xe代入上式，得xxxxxxxxxxf()()()2xx=−−=ex′′ex

8、′eex2+eex−−ex−=2eex−2e，xx因此所求方程为y′′−−=−yyex′22e.x2xx−解法二：故yx=++ecece12，是所求方程的通解，xxxx2−xxxx2−由yex′=++ec212ece−，yex′′=+++24ec12ece，消去cc12,得所xx求方程为y′′−−=−yyex′22e.2六、设抛物线y=++axbx2lnc过原点，当01≤x≤时，y≥0，又已知该抛