首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类,2009）

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1、首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.一、（15分）求经过三平行直线，，的圆柱面的方程.二、（20分）设是复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，.（1）假设，若，证明：；（2）求的子空间的维数.三、（15分）假设是复数域上维线性空间（），是上的线性变换.如果，证明：的特征值都是0，且有公共特征向量.四、（10分）设是定义在上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在上满足.（1）证明在上一致收敛；（2）设，问是否一定在上处处可导,为什么？五、（10分）设，证明发散.六、（15分）

2、是上二次连续可微函数，满足，计算积分.七、（15分））假设函数在上连续，在内二阶可导，过点，与点的直线与曲线相交于点，其中.证明：在内至少存在一点，使。第7页（共6页）首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（数学类，2010）考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分.一、填空题（共8分，每空2分.）(1)设，则=_____________.(2)若关于的方程在区间内有惟一实数解，则常数_____________.(3)设函数在区间上连续.由积分中值公式有.若导数存在且非零，则的值等于_____________.(4)设，则=_____________.二、

3、（10分）设在内有定义，在处可导，且.证明:.三、（12分）设在上一致连续，且对于固定的。当自然数时。证明:函数序列在上一致收敛于0.四、（12分）设，在内连续，在内连续有界，且满足条件：(1)当时，；(2)在中与有二阶偏导数，,。证明：在D内处处成立.五、（10分）设，.考虑积分，，定义。（1）证明；（2）利用变量替换：计算积分I的值，并由此推出.第7页（共6页）六、（13分）已知两直线的方程：，.（1）问：参数满足什么条件时，与是异面直线？（2）当与不重合时，求绕旋转所生成的旋转面的方程，并指出曲面的类型.七、(20分)设均为阶半正定实对称矩阵，且满足

4、.证明:存在实可逆矩阵使得均为对角阵.八、(15分)设是复数域上的维线性空间，()是非零的线性函数。且线性无关.证明:任意的都可表为。使得，.参考答案（精简版）首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）一、（15分）求经过三平行直线，，的圆柱面的方程.解：先求圆柱面的轴的方程.由已知条件易知，圆柱面母线的方向是，且圆柱面经过点，过点且垂直于的平面的方程为：.……………………………（3分)与三已知直线的交点分别为…………（5分)圆柱面的轴是到这三点等距离的点的轨迹，即，即，……………………………………………（9分)将的方程改为标准方程.圆柱面的

5、半径即为平行直线和之间的距离.第7页（共6页）为上的点.……………………………………………………………….（12分)对圆柱面上任意一点，有，即，所以，所求圆柱面的方程为：.……………….（15分)二、（20分）设是复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，.（1）假设，若，证明：；（2）求的子空间的维数.（1）的证明:记，.要证明，只需证明与的各个列向量对应相等即可.若以记第个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个，.………………………（2分)若记，则.注意到，（*）…..（6分)由知第7页（共6页）所以，.…………………………..（14分)（2

6、）解：由（1），，…………（16分)设，等式两边同右乘，利用（*）得因线性无关，故，…………（19分)所以，线性无关.因此，是的基，特别地，.……………………………（20分)三、（15分）假设是复数域上维线性空间（），是上的线性变换.如果，证明：的特征值都是0，且有公共特征向量.证明：假设是的特征值，是相应的特征子空间，即.于是，在下是不变的.…………………………（1分)下面先证明，=0.任取非零，记为使得线性相关的最小的非负整数，于是，当时，线性无关…..（2分)时令,其中，.因此，（），并且，.显然，，特别地，在下是不变的.………………（4分)下面证明

7、，在下也是不变的.事实上，由，知…………（5分)第7页（共6页）根据用归纳法不难证明，一定可以表示成的线性组合，且表示式中前的系数为.………………………………….（8分)因此，在下也是不变的，在上的限制在基下的矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是，因而，这一限制的迹为.…..（10分)由于在上仍然成立，而的迹一定为零，故，即=0.…………………………..（12分)任取，由于，，所以，.因此，在下是不变的.从而，在中存在的特征向量，这也是的公共特征向量.……………………………….（15分)四、（10分）设是定义在上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在上满足.

8、（1）证明在上一致收敛；（2）设，问是否一定在上处处可导,为什么？