三角函数式的化简.doc

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1、潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武三角函数式的化简三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、

2、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.（一）知识点1、辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中角φ称为辅助角．2、降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；（二）例题讲解例1、(12分)已知函数f(x)＝2cosxcos－sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值.审题视角　(1)在f(x)的表达式中，有平方、有乘积，而且还表

3、现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法.(2)当f(x)＝asinx＋bcosx的形式时，可考虑辅助角公式.解　(1)因为f(x)＝2cosxcos－sin2x＋sinxcosx＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx[2分]＝cos2x＋sin2x＝2sin，所以最小正周期T＝π.[6分](2)由f(α)＝1，得2sin＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋∈，[8分]所以2α＋＝或2α＋＝，故α＝或α＝.[12分]解题步骤：6潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武第一步：将f(x)化为asinx＋bcosx的形式.

4、（化同角，降幂）第二步：构造：f(x)＝(sinx·＋cosx·).第三步：和角公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角).第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和解题规范.例2、求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．解　y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，由于函数z＝

5、(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，当sin2x＝1时，y取得最小值6.（三）巩固练习1．(2010·福建)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(　　)A.B.C.D.2．已知cos＋sinα＝，则sin的值是(　　)A．－B.C．－D.3．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是(　　)A.B．πC．2πD．4π4．(2011·广州模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b

6、＝(1，)，则

7、a＋b

8、的最大值为(　　)A．1B.C．3D．95．已知cos－sinα＝，则sin的值是(　　)A．－B.C．－D.6．函数y＝sinx＋cosx图象的一条对称轴方程是(　　)A．x＝B．x＝6潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武C．x＝－D．x＝－7．(2010·重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sin·sin＝________.8．(14分)(2011·济南模拟)设函数f(x)＝

9、a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x)，x∈R.(1)若函数f(x)＝1－，且x∈，求x；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．解　(1)依题设得f(x)＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin＋1.由2sin＋1＝1－，得sin＝－.……………………………………………………………………(3分)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴2x＋＝－，即x＝－.………………………………………………………………(6分)(2)－＋2kπ≤2x＋≤＋

10、2kπ(k∈Z)，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，得函数单调增区间为(k∈Z)．……………………………………(10分)列表：x0πy2320－102描点连线，得函数图象如图所示