三角函数式的化简

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1、三角函数式的化简三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：（1）能求出数值的要求出数值；（2）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；（3）分式中的分母尽量不含根式等.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问

2、题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.(一)知识点1、辅助角公式tzsina+bcosa=yja+/72sin(«+cp),"cos(p=,角卩称为辅助角.其中vsi“0=，btan一，VYa2、降幕公式：sinacosa-・2sins=,cosa=（二）例题讲解例1、（12分）已知函数y（x）=2cosin2x+sinxcosx.⑴求./（X）的最小正周期；（2）当«e[0,兀]时，若./（«）=1,求a的值.审题视角（1）在/（X）的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幕等转化方法.（2）当/（x）=dsinx+方

3、cosx的形式时，可考虑辅助角公式.⑴因为X%)=2cossin2x+sinxcosx[2分][6分][8分]=-/3cos2r+sinxcosx—萌siiFx+sinxcos兀所以最小正周期T=n.(2)由/((X)—1,得2sin(2a+守=1,厂*7又aW[0,兀],所以2c(+je专，-y所以2a+

4、=y或2°+申=晋,故a=^或［12分］解题步骤：第一步：将心)化为osinx+bcosx的形式.(化同角，降幕)第二步：构造：/(X)=y/a2+^2(sin*/<汁y］a+bb、第三步：和角公式逆用/(x)=y/a2+b2sin(x+卩)(其中°为辅助角)

5、.第四步：利用/(x)=y/a2+b2sin(x+(p)研究三角函数的性质.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和解题规范.例2、求函数y=7—4sinxcosx+4cos2x—4cos4x的最大值和最小值.解j^=7—4sinxcosx+4cos2%—4cos4x=7—2sin2x+4cosx(l—cosx)=7—2sin2x+4cosxsinx=7—2sin2x4-sin22x=(1—sin2x)2+6,由于函数Z=(w—1)2+6在［一1,1］中的最大值为zmax=(—1—1)2+6=10,最小值为Zmin=(l—1)2+6=6,故当sin2x=-l时，尹取得

6、最大值10,当sin2x=l时，y取得最小值6.(三)巩固练习1•(2010-福建)计算sin43°cos13°B誓丄•十sma=~A.2a/35—cos43°sin13。的结果等于c.芈si贝B.2^354-54-5D3-A申4.IA.函数/W=sin2x—cos2x的取小正周期是B.7iC.2兀5.A.(2011•广州模拟)C知向量a=(sinx,1B，V3C.已知cos(u；:_3函数卩cosX),3a+号一sin6(=卑2则sin(a—书的值是B普©-

7、=sinx+cosx图象的一条对称轴方程是D・4兀向量b=(,(5),贝巾+创的最大值为()D.9D.

8、

9、C.x=~l7.（2010-重庆）如图,f兀D.x=—2图屮的实线是由三段圆弧连接而成的一-条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等.设第,段弧所对的圆心角为闪(7=1,2,3),则cos彳cos仝严一.a.«?+«3sin■ysin_~~=.兀71丁38.(14分)(2011-济南模拟)设函数f(x)=a・b,其中向量d=(2cosx,l),〃=(cosx,羽sin2x),兀GR.⑴若函数.心)=1—萌，且xG(2)求函数y=j{x)的单调增区间，并在给出的坐标系中I田ilBy=/(x)在区I'可［0,兀］上的图彖.解⑴依题设得./（x

10、）=2cos2r+羽sin2x=1+cos2x+-/3sin2jr=2sin（2x+f）+1.S得sin(力+()=—¥•—彳W兀W彳，・：一号W2x+彳W普.・・2x+&=—亍，即x=—才.⑵一申+2斤兀02兀+彳0号+2阮伙丘Z),即一申+如:冬兀冬彳+如:伙WZ),兀7T得函数单调增区间为［—了+加，伙GZ).列表：（3分）（6分）（10分）X07C6n3n22兀T571Tny2320-i02描点连线，得函数图象如图所示:（14分）8.（2010-陕西）函数/（x）=2sinxcosx是（）A.最小正周期为2兀的奇函数B.最小正周期为2兀的偶函数C.最小