三角函数式的化简与求值

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1、三角函数三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式

2、并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220°+cos280°+sin220°cos80°=(1－cos40°)+(1+cos160°)+sin20°cos80°=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1－cos40°+(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－cos4

3、0°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°=1－cos40°－(1－cos40°)=解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°=－2sin100°sin60°+sin100°=0∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a

4、+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.第14页共14页命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得：f(a)∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞故－－2a－1=，解

5、得：a=－1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x∈［，］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数

6、等知识.错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)∴f(x)的最小正周期T=π(2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,∴2x+∈［,］,∴2x+=，则第14页共14页x=，故f-－1(1)=.●锦囊

7、妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1

8、=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－)，则tan的值是()A.B.－2C.D.或－2二、填空题2.(★★★★)已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)=，则tan(α－2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:5.已知cos(+x)=，(＜x＜