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1、三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.［例1］已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值.解法一：∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜,∴sin(α－β)=∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,∴s
2、in2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－∴sin2α=［例2］sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220°+cos280°+sin20°cos80°=(1－cos40°)+(1+cos160°)+sin20°cos80°=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1－cos4
3、0°+(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°=1－cos40°－(1－cos40°)=解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°=－2sin100°sin60°+sin100°=0∴x
4、=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.［例3］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.解：由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得：f(a)∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.［例4］已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx(1
5、)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)∴f(x)的最小正周期T=π(2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值
6、域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2°注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练1.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－)，则tan的值是.2.已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)=，则tan(α－2β)=_________
7、.3.设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________.4.求值:5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值.6.已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z).求的最大值及最大值时的条件.7.如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.8.已知cosα+sinβ=，sinα+cosβ的取值范围是.参考答案一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、
8、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),又tan(α+β)=整理得2tan2=0.解得tan=－2.2.解析：∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,3.解析：α∈(),α－∈(0,),又cos(α－)=.答案：4.答案：21．数列的前项和，则．482
