专题 三角函数式的化简与求值.doc

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1、专题十一　三角函数式的化简与求值　　知识网络　　三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列　　一、高考考点　　以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：　　1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。　　2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）

2、。　　3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。　　二、知识要点　　（一）三角函数坐标定义的推论　　1、三角函数值的符号　　2、特殊角的三角函数值　　3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）　　（1）课本中的公式：　　　　（2）同角公式“全家福”　　①平方关系：.　　②商数关系：.　　③倒数关系：　　4、诱导公式：　　（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角　　①k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；　　②90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余

3、函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。　　①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。　　（2）诱导公式的引申　　；　　；　　.　　（二）两角和与差的三角函数　　1、两角和的三角函数　　两角差的三角函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　令＝　　2、倍角公式　　；　　　　＝　　＝；　　　　　　3、倍角公式的推论　　推论1（降幂公式）：　　　　；　　；　　.　　推论2（万能公式）：　　；　　.　　推论3（半角公式）：　　；　　；　　.　　其中根号的符号由所在的象限决定.　　三、经典例题　　例1、填空：　　（1）已知的取值范围为　　　　　　　　（2）已知的取值范

4、围为　　　　　　　　　　　　　　分析：　　（1）从已知条件分析与转化入手　　　　①　　又　　　　　　　　　　　　　　　　　②　　∴由①、②得，　　∴应填　　（2）首先致力于左右两边的靠拢：　　左边＝　　　　　　　　　　①　　右边＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②　　∴由左边＝右边得　　　　，　　∴应填　　点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.　　例2.化简或求值：　　（1）　　（2）　　分析：　　（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公

5、式。　　（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用“切化弦”外，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果.　　解：　　（1）原式＝　　（2）　　解法一（利用关于正切的倍角公式）：　　注意到　　∴　　∴原式＝　　＝　　＝　　＝　　＝cot20°　　解法二（利用掌握的典型关系式）：　　注意到（证明从略）　　∴原式＝　　＝　　＝　　＝cot20°　　点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵活性值得借鉴.此外，在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差，从角的这一关系式入手突破，是（1）求解成功的关键.　　例3.　　（1）已知，求的值；　　（2）已

6、知　　分析：　　对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识“已知”切入，以明确未知目标的变形方向；　　对于（2），注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入，以准确已知的延伸方向.　　解：　　（1）由已知得　　∴　　注意到　　∴由已知得（至此，目标的变形方向明确）　　于是有　　原式＝　　＝　　（2）由已知得　　原式＝　　＝　　＝　　　　　　　　　　　　　　①　　（至此寻求的目标明确）　　又∵　　∴　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　②　　于是②代入①得，原式＝.　　点评：（1）从化简认知“已知”切入，（2）从化简认识“目标”切入，具体情况具体分析，很好地体现了解题的灵活性

7、.　　例4.　　（1）已知　　（2）已知　　（3）已知　　（4）已知　　分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.　　解：　　（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式：（和差与倍半的综合关系）　　∴　　＝