黎曼流形上外微分形式理论在A-调和方程中的应用研究.pdf

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1、博博博士士士学学学位位位论论论文文文黎曼流形上外微分形式理论在A-调和方程中的应用研究RESEARCHESONAPPLICATIONSOFDIFFERENTIALFORMSINA-HARMONICEQUATIONSONRIEMANNIANMANIFOLDS王王王婷婷婷婷婷婷哈哈哈尔尔尔滨滨滨工工工业业业大大大学学学2015年年年6月月月国内图书分类号：O175.2学校代码：10213国际图书分类号：517.9密级：公开理理理学学学博博博士士士学学学位位位论论论文文文黎曼流形上外微分形式理论在A-调和方程中的应用研究

2、博士研究生：王婷婷导师：包革军教授申请学位：理学博士学科：基础数学所在单位：数学系答辩日期：2015年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学ClassifiedIndex:O175.2U.D.C:517.9DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceRESEARCHESONAPPLICATIONSOFDIFFERENTIALFORMSINA-HARMONICEQUATIONSONRIEMANNIANMANIFOLDSCandidate:WangTingtingSupervisor:P

3、rof.BaoGejunAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScienceSpecialty:FundamentalMathematicsAliation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:June,2015Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechnology摘要摘要黎曼流形上的外微分形式理论在黎曼流形的大范围分析理论、偏微分方程、物理学和力学等学科中扮演着十分重要的角色。A-调和方

4、程是一类二阶拟线性椭圆偏微分方程，它在位势理论、流体力学、弹性理论、相对论、电磁场、塑性力学、微分几何以及几何函数论等许多领域中都有着非常广泛的应用。因此在外微分形式理论的基础上研究A-调和方程具有十分重要的意义。本文主要研究黎曼流形上用外微分形式理论描述的A-调和方程及其在带边黎曼流形上的广义Dirichlet边值问题、障碍问题和变分问题，研究工作包括以下四个方面：首先，由于A-调和方程本身的散度结构，利用算子理论研究解的性质。应用黎曼流形上的Morrey引理和等周型不等式本文建立了A-调和张量在黎曼流形紧子集上

5、的Holder¨连续性估计。其次，在带边黎曼流形上考虑A-调和方程的广义Dirichlet边值问题。在其可解的基础上，证明了解的积分估计和弱逆Holder¨不等式。定义了外微分形式序列的弱收敛并证明了解关于非齐次项的稳定性。然后，根据A-调和张量的定义表达式以及A算子的性质可知，我们可以考虑低于自然可积指数的弱A-调和张量。本文证明了黎曼流形上的Poincare-´Sobolev不等式，并结合Rn上Lp外微分形式的Hodge分解定理在Rn的开子集上建立了弱A-调和张量的弱逆Holder¨不等式。又基于A-调和方程与

6、障碍问题的紧密联系，本文在Rn的有界正则域上讨论了其广义边值问题的?r;-障';碍问题。证明了其很弱解的存在唯一性和拟极小化?r;p;l
1q上r-Dirichlet';积分的性质，并建立了很弱解关于障碍外微分形式的稳定性。最后，注意到A-调和方程具有变分结构，还可以应用变分方法来讨论解的存在性。本文将变分方法推广到外微分形式空间，在向量值外微分形式空间上建立了相关泛函的极值问题并证得了其极小值点的存在性。这也是外微分形式理论的又一个重要的应用。关键词：A-调和方程；黎曼流形；外微分形式；障碍问题；变分问题-

7、I-哈尔滨工业大学理学博士学位论文AbstractThetheoryofdierentialformsonRiemannianmanifoldsplaysanimportantroleinglobalanalysisofRiemannianmanifolds,partialdierentialequations,physicsandmechanicsetc.TheA-harmonicequationisaclassofquasilinearpartialellipticequa-tionsofsecondorder

8、,itiswidelyusedinthepotentialtheory,fluidmechanics,elasticitytheory,thetheoryofrelativity,theelectromagneticfield,plasticity,dierentialgeometryandgeometricfunctiontheoryetc.Itisthere