[微分流形与微分形式]

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1、第七章微分流形这一章我们将讨论怎样将微积分的理论推广到更一般的空间上,我们将给出微分流形的定义，讨论外代数,微分形式和外微分,并在微分流形上定义积分，研究推广的Stokes定理.我们的目的一方面是对微积分的理论进行一些总结,使读者能够更好的理解前面学过的定理及定理所需的条件,另一方面也为读者介绍一些现代数学的基本概念,研究对象和研究方法.需要说明的是下面讨论中我们并不追求定义和定理的广泛性,但我们希望用到的概念和定理在本书中都能找到.§7.1微分流形前面我们讨论了极限,微分和积分,给出了微积分的各种定理.我们的讨论对象都是n-维欧氏空间中的区域及区域

2、上的函数.而如果将平面看作曲面的特殊情况,n-维欧氏空间看作n-维曲面的特殊情况,假定我们就置身于曲面之中,我们的问题是怎样将前面讨论过的微积分的各种理论推广到曲面上.对此我们先从极限理论的推广开始.在实数的极限理论中,序列{}x趋于x可以表示为对于包含xn00的任意开集U,存在N,使得只要nN>,就有x∈U.在这一定义n中,我们将开集看作是其所包含的所有点的邻域,利用开集来描述接n近(取极限)的过程.同样的,设f()p是区域UR⊂上的函数,不难验证f()p在U上连续的充分必要条件是对于实轴R中的任意开集−1O,f()O是U中的开集.我们看到,对于连

3、续,我们同样只需知道什么集合是开集即可.因此,如果我们希望对于一般的集合以及集合之间的映射推广极限和连续的概念,我们只需推广开集的概念即可.对此,我们可以将欧氏空间中开集满足的基本性质作为公理,给出下面定义.定义集合X称为拓扑空间,如果指定了X的某些子集作为X中的开集,并且这些开集满足1371).X本身和空集φ都是开集;2).X中任意有限个多个开集的交是开集;3).X中任意多个开集的并仍然是开集.我们将拓扑空间X的所有开集组成的集合记为T.即TOXO=⊂{

4、}是开集.T称为X的一个拓扑结构,这时可以将拓扑空间X记为{,}XT.显然一个集合上可以有各种

5、不同的拓扑结构.对于一个拓扑空间X,我们将X中开集的余集称为闭集.由开集满足的性质不难得到闭集满足1).X和空集φ都是闭集;2).任意有限个多个闭集的并是闭集;3).任意多个闭集的交是闭集.如果SX⊂是拓扑空间X的任意子集,令TS(){=OSO∩

6、是的开集X}.则{,()}STS也是一拓扑空间,其称为X的子空间.特别的欧氏空间nnn中任意子集UR⊂,U作为子空间,其在R中的拓扑称为R的相n对拓扑,其开集和闭集分别称为U在R中的相对开集和相对闭集.另一方面,如果SX⊂是拓扑空间X的任意子集,令SB=∩,{BS⊃是的闭集X}.由于任意多个闭集的交是闭集,

7、得S是闭集,其是X中所有包含S的闭集里最小的一个,称为S的闭包.例1:设X是任意集合,令T为由X中的所有子集构成的集合,则显然T满足上面拓扑空间开集的定义,因而构成X的一个拓扑结构,称为X的离散拓扑.这时X的每一个点自身就是开集,作为邻域其不含别的点.例2:设X是任意集合,令TX={,}φ,则T满足上面定义,因而也构成X的一个拓扑结构.138例3:设X={1,2,3,4},令TX={,,{1,2}}φ,则T构成X的一个拓扑结构.设{,}XT是一给定的拓扑空间,称X中的序列{}x趋于x,如n0果对于包含x的任意开集U,都存在N,使得只要nN>,就有0x

8、∈U,记为limx=x.nn0n→+∞设X,X都是拓扑空间,映射f:XX→称为在点x∈X连121201续,如果对于X中任意包含f()x的开集O,存在X中包含x的20210开集O,使得f()OO⊂.称映射f在X上连续,如果f在X的11211每一点都是连续的.不难验证f:XX→连续的充分必要条件是对12−1于X中的任意开集O,f()O都是X中的开集.例如,如果2221{,()}STS是拓扑空间X的子空间,则映射I:,SX→=Ipp()是连续的.设f:XX→是连续映射,如果f有连续的逆映射12−1f:XX→,则称f为拓扑同胚,称X,X是拓扑同胚的空间.21

9、12这时X中的子集O是开集的充分必要条件是f()O是X中的开集.1112这时我们称X,X的拓扑结构相同.12如果X是上面例1中定义的离散拓扑空间,则对于任意拓扑空1间X以及任意的映射f:XX→,f都是连续的.而如果X是上2121面例2中定义的拓扑空间,则对于任意X上的函数f:XR→,f11139是连续的充分必要条件是f是常值函数.如果令X={1,2,3,4}是例3中给出的拓扑空间,f:RX→是实轴到X的映射,满足fx()1≡.这时当R中的任意序列{}x趋于n任意x时,显然fx()1→.但由于在X中,1和2总是在同一邻域内,0n因而同样也有fx()2→

10、,这时极限并不唯一.因而要得到极限的唯n一性,我们还需在上面定义中加上新的条件.定义拓扑空间{,}XT称为H