次黎曼流形上的几类变换

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1、声明本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。研究生签名：bd年占月，口日学位论文使用授权声明南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于保密论文

2、，按保密的有关规定和程序处理。研究生签名：堡量知订年i月jD曰南京理工大学硕士学位论文次黎曼流形上的几类变换1引言次黎曼(sub—Riemannian)几何，又称Carnot—Carath6dory几何，或非完整黎曼几何。粗略地讲，次黎曼几何是次黎曼流形上的几何。而次黎曼流形是被赋予了一个分布(Distribution)及此分布上的一个纤维内积的流形。其中，分布，也称为水平空间，指的是一族k维平面，也就是流形上切丛的一个线性子切丛。它的研究从上世纪八十年代中叶起逐渐引起了人们的广泛关注。近年来，

3、更是掀起了研究次黎曼流形的热潮(参见文献[3]、[43、[5]、[10]、[12]、[18]、[20])。经过近十年的发展，特别是在1993年前后，由于R．Montgomery[20]，w．Liu＆H．J，Sussan[24]，M．Gromov[11]，A．Bella'iche[2]，A．A．Agrachev&A．V．Sarychev[1]等数学家的研究工作的相继问世，使得这一研究领域变得异常活跃，也更加显示出其特别的重要性。次黎曼几何一方面是黎曼几何的自然发展，是开展度量空间上的几何分析研究的

4、基本空间，也可以为次椭圆算子的分析和Cauchy—Riemannian流形提供～个可能的共同的研究框架；另一方面其在控制论、经典力学、规范场论和量子力学等方面也有着极其重要的理论和实际应用。次黎曼流形的研究，主要从几何和分析两个方面的问题展开。首先，M．Gromov[11]从次黎曼流形上定义的Carnot—Carath6dory度量出发，对次黎曼几何中的一些基本的几何概念，如Carnot—Carath6dory球、水平(Horizontal)曲线、Hausdorff测度和超曲面等作了系统深入地研

5、究，并建立了次黎曼流形上的一些非常重要的分析基础；A．Bella'／che[2]给出了次黎曼流形的切空间理论。次黎曼几何与黎曼几何的本质区别之一是次黎曼几何中存在着一类“奇怪”的测地线，称为奇异测地线，它们是极小测地线且具有拓扑稳定性，但不满足测地线方程。这一事实也表明了次黎曼几何的重要性。R．Montgomery[9]在1994年首次构造出次黎曼奇异测地线。之后，Liu—Sussan[24]给出一个更简洁而一般的证明，这为次黎曼几何的研究奠定了一个重要的理论基础。近十年来，人们对次黎曼几何的研

6、究主要集中在次黎曼测地线及其性质的研究上。R．Montgomery[20]，Liu—Sussan[24]等人的工作主要集中在对几类次黎曼流形如何构造次黎曼奇异测地线；其次，A．A．Agrachev&A．V．Sarychev[1]等人的工作主要集中在次黎曼流形上建立变分框架、Morse理论等。虽然这些方面已取得了不少进展，但迄今为止，据我们所知，次黎曼流形的测地线的结构研究方面还远远不够，如在一个次黎曼流形中，在什么样条件下连接任意给定的两点存在测地线、测地线的多解性、最短测地线的唯一性、从一点出

7、发的奇异测地线的集合的测度有多大等问题都没有解决。本文则希望从另一个角度，即变换群的角度刻画次黎曼流形的几何特征，并希望南京理工大学硕士学位论文次黎曼流形上的几类变换以此构建次黎曼流形上的相应变换论下的几何学。、众所周知，在黎曼流形上存在唯一的度量的无挠的联络，即Levi—Civita联络，这是著名的黎曼几何基本定理。在次黎曼流形上也有推广的结论，参见文献[8]、[6]。在文献[3]中，BLangerock首先通过投影的方法给出了次黎曼度量的定义，然后引入了在丛映射上的联络，并且把它应用于次黎曼

8、流形。还证明了次黎曼结构normal和abnormalextremals可以被表征为关于广义联络的平行移动。利用这些形式论述了特殊abnormalextremals存在性的充要条件。文献[8]通过利用黎曼联络向水平空间正交投影的方法定义了水平联络，并证明了其是唯一的关于次黎曼度量是容许无挠的水平联络(或非完整联络)。设M为光滑的n维黎曼流形，Q为M上的光滑分布，g为Q上的纤维内积，则称{M，a，时为次黎曼流形。那么，定理[8】：设{丑1，．一，jI}为Q的一组单位正交基底，互为Q的关于孙f的伴随