一类黎曼流形上拉普拉斯算子的本质谱

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1、邀攀簸蔻大攀骚士学位论文曲阜蟓范大学硕士学位论文癔创性说明本人郑重声明；此处所提交盼硕士论文《—类黎曼流形主拉酱控斯算子鲶本质谱》，是本入在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硬士学位期间独立进行研究工作所取得盼成果。论文中狳注瞪酃分外不包含他人瑟经发表或撰写鳇研究戏皋。对本文晦研究工作徽出莺要贾猷豹个人拳集体，均邑在文申程疆磷的方式注薅．本声骧酌法律结果将凳全盘本人承担．曲阜师范大学硕±学位论文使用授权书《一类黎曼流形上拉普拉斯算子的本质谱》系本人在曲阜师范大学攻读碗士学位期惩，在导簿擐导下寇戏翁疆±学位论文．本论文的砑究成果强魑辜师范大学所有，本论文鲍

2、研究拇骞不得以其他单位的名义发表。本人完全了解趱阜师范大学关予锯存、使是学位论文的规定，同意学校保鼹并向有关部门送交论文的复印件秘电子版本，允许论文被查阕羊妥借游。本入授权盛辜师薄大学，可以采孀影窜或其他复裁手段保存论文，可戳公开发表论文的全部线部分态容。．作者签名；趣事日髫疑瓣；>静雾彭y导师签名；2尽期；曲阜师范大学硕士学位论文§1引言黎曼几何是从1854年德国数学家B．1：Liemann的就职演说发端的．经过后人进行一系列的完善和拓广，黎曼几何得到了蓬勃发展，黎曼流形上的本质谱是几何学的一个重要分支，．关于本质谱问题是后期发展的，它为黎曼几何的

3、深入发展开辟了广阔的前景．近半个多世纪以来，它的发展在其他数学分支中起了深刻影响的作用．黎曼流形上的本质谱在十分活跃的领域里都有着重要的理论意义和实际意义．本文主要研究两方面的内容．第一，完善了文[21】中两个定理的证明．它们是对任一九维完备的黎曼流形，若它的Ricci曲率非负，且满足一个Nash不等式，则它微分同胚于Rn．另外，利用迭代的方法，得到了在没有蓝率假设下，若黎曼流形满足Nash不等式，则测地球的体积具有极大增长．20世纪以来，很多人研究过这个问题，并且Nash不等式作为研究非线性偏微分方程的一个重要工具也值得去研究．1997年，Chee

4、ger—Colding得到结果：设M为任一n维完备、Ricci曲率非负的黎曼流形，对n≥2，存在一正常数6(仃)，如果能使得V(xo，r)≥(1一巧(几))vo(r)，zo∈M，Vr>0成立，则M微分同胚于"．1999年，在文[1】中，Ledoux证明了如栗Sobolev不等式有一个成立：lIfllp≤CoIlV刑。，V，∈四(M)，(1．1)其中，1≤g≤仃，；=；一百1，Co是最优Sobolev常数；II川p衣示函数，的／2范数．Ledoux的主要证明方法就是通过找一个c铲(M)中的函数，然后代入(1．1)通过计算得V(zo，7．)≥％(r)，这

5、里V(zo，r)表示以20为心，7．为半径的测地球B(zo，7’)的体积，K(7')表示舻中半径为r的球的欧氏体积．由R．icci曲率非负，结合Bishop体积比较定理可得V(zo，7’)≤V0(7．)，得到M等距于舯．后来，Sobolev不等式又得到了进一步的发展．我们都知道，上述Sobolev不等式是广义Sobolev不等式⋯Ic≤酬刑I圳0，圳。1一，V，∈四(M)(1．2)在口=0时的特殊情况．当g=t=2，0=熹时，广义Sobolev不等式变成Nash不等式【7l：对V，∈四(M)，有’一pP(／I卯咖)1+鲁≤c(／I朋可)昙／fV卯dv

6、．(1．3)1第一节弓l言2005年，Ruan结合蘸入成就得到有关Nash不等式的结论：(1)设M为任一他维完备的Ricc{曲率非负的黎曼渡彤，著Nash不等式以．彰成立，则M微分同胚于15c“．(2)掰为任一霸维完备妁黎曼流形，若Nash不等式弘．印成立，则M中的测翘臻的体积具有极大增长．在以上两结论的证明中有些许不妥，本文给出了更加完善的证明。第二，讨论了一些带有极点的黎曼流形上的Laplacian算子的本质谱的榻关问题，结合文f22]得到如下结论：’命题(M，g)是一完备的霄维黎曼流形，并且P《M是一个极点，Vz《掰＼岛(R)，d(z，P)=p

7、(z)，当P充分大时，满足0≤△p≤—n-—1，、P巅存在常数◇>0，使得嵋(D≤C妒。定理(M，g)是一完备的％维黎曼流形，p◆Nash不等式口．影卿(flJl2面)聃姜成立，并且P∈M是一个极点，若满足以下条件≤G(，}，i面)杂fiVftz如，V，∈四(M))俐Vz《M＼昂(R)f昂(R)是一个以咒为半径的测地球，，d(x，P)一p@)，当P充分大时，满足0≤△P≤譬．则EssSpect(A)=冷，+∞)。定理(M，g)是一完备的礼维黎曼流形，并且P∈M是-4"-极点，若满足以下条件倒Vx≤掰＼岛(霆)p；(霆)是一个以冗为半径酌测地殊Zd(x

8、，P)一p(z)，当P充分大时，满足0≤Ap≤了n-1．(2)plira∞inf警>。，则EssSpect(