乘积流形r×n上的拉普拉斯算子

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1、Ilj{jillIlIIl；脚2i0—13；N：O--；．27。。。，。，。。；。。。，学术论坛乘积流形RXN上的拉普拉斯算子①王全胜(荆楚理工学院数理学院湖北荆门448000)摘要：拉普拉斯算子是黎曼流形上一类重要的微分算子，关于拉普拉斯算子相关问题的研究-直是黎曼几何的重要研究方向，该文研完了一类秉积流形RXN上的拉普拉斯算子，给出了一个关系式。关键词：拉普拉斯算子乘积流形关系式中图分类号：0186．12文献标识码：A文章编号：1674—098X(2013)09(c)一0208—021引言及

2、预备知识上的拉普拉斯算子△为出版社，2002．乘积流形是黎曼几何的一种重要的流2【2]PeterseI1_，P．，RiemannianAR=(1．5)形模型，关于乘积流形及其子流形的研究【】ZGeometrY(SecondEditiO12)【M】，一直是黎曼几何的一个重要研究方向。在关于这三个拉普拉斯算子，我们可以得SciencePress，2006．本文中，我们主要研究乘积流形RXN的拉到下列结论[3]Chavel，I．，RiemannianGeometry：普拉斯算子与组成的两个流形的拉普拉

3、斯定理1．1．在乘积流形M=RXN，AM0dernIntrodL1CtiOn[M】，算子的关系。以下，简要介绍本文关于乘积M，R，N对应的拉普拉斯算子分别为CambridgeUniversitYPress，流形和其拉普拉斯算子，具体内容可参看△M，△，△Ⅳ，则有：1993．文献⋯。AM=△R+AⅣ(1．6)[4]陈潮填．广义系统的含义及其特性设R是一维的欧氏空间，而N是一个(综述)[J】．广东职业技术师范学院学维的黎曼流形，g，△分别是N上的黎曼2定理1．1．的证明报，2001(4)．度量(度量

4、也可用表示)和拉普拉斯算在本节中，我们将给出定理1，．1．的证[5]宋军锋，侯传燕，王宝勤．与Poisson流形子，当M=RXN是关于R和N的一个乘积流明．其中一些所用到的符号与公式，具体内上Poisson结构有关的讨论[J】．新疆师形，由乘积流形的定义可知，M是一个十1容可参看文献[1】，[3】．范大学学报(自然科学版)，2003(4)．维的黎曼流形，g，△分别是M上的黎曼定理1，．1．的证明当适当选取坐标系时，【6]刘端，史荣昌，梅凤翔．非完整力学的辛几度量(度量也可用表示)和拉普拉斯算可令

5、何方法⋯．北京理工大学学报，1990(4)．aaaa子。设，v分别表示乘积流形M上的梯．[7】张敏，罗安，王华昕，等．基于线性化的发。，a；a’，⋯，度与散度算子，而(X，，，⋯，X)是MJ：的坐电机励磁鲁棒控制器[J】．电工技术学标函数，则L0，，⋯，0J是MJ=的自然而g“=1；g=O，a=2，⋯，”+1．所以此时报，2002(2)．M=RXN的度量矩阵为[8】陈东方．辛几何理论和小波变换方法在标架场，则波动方程高频近似中的应用[D】．安徽大G：『l0G。]，ggM，a)，i,j=1，。一，

6、+l，(1．1)学，2003．，Ⅳl【9】张素英．非线性动力学系统一般形式及其中，G为黎曼流形N的度量矩而G()()×【)是M的度量矩阵，其广义哈密顿体系下的几何积分方法阵，易知IGl=IG1．再由(1．2)，(1．4)和G(g)是其逆矩阵，则乘积流形(1．5)可知[D]．西北工业大学，2003．MJ=的拉普拉斯算子为：[10】刘宝康．Dirac-Nijenhuis结构[D】．首丽1鑫e都师范大学，2004．苦c瓜[11】金波．关于非完整动力学的几个基本问题[D】．湖南大学，2003．又因为M=

7、R×N，令(t，Y。。，)是丽1(同罢)+[121尹彦彬．拉回Dirac结构与左不变DiracM的坐标函数，则(，⋯．，)是结构[D】．首都师范大学，2003．M上的自然标架场。其中，t是R上坐标蓑。√。【13]廖丽娜．PoiSS0n—Nijefthuis流形和函数，(Y一，Y)是N上的坐标函数，Dirac结构【D】．首都师范大学，2003．(。；，⋯，)是E的自然标架场，则嘉1参l。j【14]余志强．无挠的与李代数胚结构可交换=A月+A的李代数胚联络及其性质[D】．首都师范gpqzg(a；，0

8、)，p，q1，⋯，，(1．3)所以，可得(1．6)，定理1．1．得证．大学，2005．注记：由(1．6)可知，若在乘积流形[15】陈东方．辛几何理论和小波变换方法在而G=(g)⋯是N的度量矩阵，M=RXN上，对需要计算拉普拉斯的函数波动方程高频近似中的应用[D】．安徽大G=(g“)⋯是其逆矩阵，则黎曼流形N上f(x，X2，⋯，)=l厂(，：，⋯，)，即与R的坐学，2003．的拉普拉斯算子为：标函数f无关，则有A／=Af。【l6]罗伟．0rbifold上的群作用[D】．四川大喜击暑(瓜]．(1_4