算子总结哈密尔顿算子拉普拉斯算子.docx

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1、∇：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算子。Strictlyspeaking, ∇delisnotaspecificoperator,butratheraconvenientmathematicalnotationforthosethreeoperators,thatmakesmanyequationseasiertowriteandremember.Thedelsymbolcanbeinterpretedasavectorofpartialderivativeoperators,anditsthreepossi

2、blemeanings—gradient,divergence,andcurl—canbeformallyviewedastheproductofscalars,dotproduct,andcrossproduct,respectively,ofthedel"operator"withthefield.Δ、∇2 or ∇·∇：拉普拉斯算子（Laplaceoperator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。,       gradF=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是

3、这个最大的变化率。▽f=divF=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求梯度正好相反,divF表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当divF>0，表示该点有散发通量的正源；当divF<0表示该点有吸收通量的负源；当div=0，表示该点为无源场。即闭合曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。rotF或curlF=∇× F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋度依然是矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋

4、转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。基本关系：一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：一个矢量场F的旋度场是无源场，也就是说它的散度处处为零：F的旋度场的旋度场是：                       亥姆霍兹分解、亥姆霍兹定理或矢量分析基本定理：对于任意足够平滑、快速衰减的三维矢量场可解为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。简单的说就是任何矢量都可以分解为简

5、单的无旋场和无源场之和，即其标量位和矢量位两部分。       Helmholtz'stheorem,alsoknownasthefundamentaltheoremofvectorcalculus,statesthatanysufficientlysmooth,rapidlydecayingvectorfieldinthreedimensionscanberesolvedintothesumofanirrotational(curl-free)vectorfieldandasolenoidal(divergence-free)vectorfield;

6、thisisknownastheHelmholtzdecomposition.