高等应用数学 教学课件 作者 章杭 李月清 杨惟建 主编 习题解答第三章　典型习题解答与提示.doc

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1、第三章导数的应用典型习题解答与提示习题3-11．（1）①函数在闭区间上连续是显然的，　　　②因，所以在开区间上可导，　　　③，　　　即满足特例中三个条件，所以有一点，有成立；　（2）①函数的闭区间上连续是显然的，　　　②因，故在开区间上可导，　　　满足拉氏定理条件，因，令，　　　即，故，取　　　有成立；　（3）提示：，因为，令，可求取；　（4）提示：，因，令，可得。2．（1）函数，在区间上满足拉氏定理的条件，　　　故，即；（2）函数在上满足拉氏定理的条件，故，显然有，即有；　（3）因函数在区间上满足拉

2、氏定理的条件，　　　故，　　　注意到余弦函数在第1象限为减函数，即，　　　所以，即，注：当且仅当时，不等式取等号；　（4）函数在区间上满足拉氏定理条件，　　　故，即。3．（1）因，故函数在上为单调减函数；　（2），则函数在整个数轴上单调增，当然在上为增函数。4．（1）函数在，上为单调增，在上为单调减；　（2）函数在区间上为单调减，在区间上为单调增；　（3）函数在区间为单调增，在区间为单调减；　（4），令，　　　当时，，当－2＜＜－1时，　　　当时，，当时，　　　故函数在区间，上单调增，在上为单调减；　

3、（5）因，令，则，　　　当时，，则为函数的单调增区间，　　　当时，，则为函数的单调减区间；　（6），则函数在上为单调增。5．（1）提示，令，则，当时，；　（2）提示，令，故；　（3）设，所以，　　　因为当，所以，函数在上为单调增，　　　由，即；　（4）设，则　，　　　故函数在上为单调增，所以，即。6．（1）因，所以在为单调增，但作为的函数不是单调函数；　（2）在上单调增，但在上不是单调函数。习题3-21．（1）极大值，极小值；　（2），令，　　　，所以，则函数在处有极大值，　　　，即函数在，有极小值；

4、　（3）函数在处取得极小值；　（4）函数在处取得极小值；　（5），令，为整数，　　　，　　　故当时，，函数有极大值；　　　当时，，函数有极小值；　（6），则，故，　　　令，当时，，当时，，　　　即函数在处取得极大值；　（7），当时，不存在且函数在处连续，　　　当时，；当时，，即函数在处取得极大值；　（8），因，故，即函数在上为单调增，无极值。2．，取，令，得，　,故当时，函数在处取得极大值为。3．，　由题已知条件，故即函数在上为单调增函数，即它无极　值。习题3-31．（1）因，即函数在上递增，　　　最

5、小值为，最大值为；　（2）函数在区间上最小值为，最大值为；　（3），令，考虑，　　　，则函数在区间上最大值为，　　　最小值为；　（4），令，考虑，则函数在区间上的最小值为，最大值为；　（5），令，得，　　　因为，则函数在区间上最大值为，最小值为。2．当底面半径为，高为时，用料最省。3．当宽为5m，长为10m时，所围长方形面积最大。4．设圆的半径为，则矩形的高为，　故截面面积，　故，令，m，　依题意必存在极大值。即当矩形底边约为m，高约m时，截面面积最大。5．设C距A在输电线上的垂足为km，则电线总长为

6、，　则，令，则，依题意必存在极小值，所以　当变压器装置在距A垂足km处，所用电线最省。6．提示：设断面的宽为，这时高满足，则有函数，求并解，当截面矩形宽为，高为时，强度最大。7．设圆锥底面半径为，高为，则，　则，令，即，依题意必存在极大值，所以当炸药包被埋在深为处，爆破体积最大。习题3-41．（1）函数曲线在内呈现凹状；　（2）函数曲线在内呈现凸状；　（3）函数曲线在内呈现凹状；　（4），　　　即当、曲线呈现凸状，当、曲线呈现凹状；　（5），令，　　　当、曲线呈现凹状，当、曲线呈现凸状，当、曲线呈现凹

7、状。2．（1）在区间内呈现凸状，在区间内呈现凹状，点为拐点；　（2）在曲线呈现凸状，曲线呈现凹状，拐点；　（3），　　　令，求得，则当时、曲线呈现凹状，当时、曲线呈现凸状，即凹区间为，凸区间为，拐点为；　（4），当时，不存在，但函数在处连续，当时，，当时，，即区间呈现凸状，区间呈现凹状，（2,0）为拐点；　（5）提示：参见第五节中例2。3．，取时，令及曲线过点，　有，则，这时，，当从1的一侧变化到另一侧时，变号，即当时，点为曲线的拐点。4．因，令得，因　在这些点的左右两侧均改变符号，所以点，，都是拐点

8、。因为，，即这三个拐点位于同一条直线上。习题3-5略习题3-61．（1）；　（2）；　（3）2；　（4）；　（5）；　（6）；　（7）；　（8）；　（9）；（10）。2．（1）0；　（2）；　（3）0；　（4）；　（5）；　（6）令，则，故，即，所以；　（7）设，则，故　　　则，即；　（8）令，则，则，所以。3．（1），若用洛必达法则，　　　原式不存在，所以（1）不能用洛必达法则；　（2），若用洛必达法则，原式与原题相比，没有任何改进，再用一次洛必达法则