高等应用数学 教学课件 作者 章杭 李月清 杨惟建 主编 习题解答第六章　典型习题解答与提示.doc

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1、第六章多元函数微分学典型习题解答与提示习题6-11．A：Ⅳ；　B：Ⅴ；　C：Ⅷ；　D：Ⅲ。2．平面；平面；轴上；D：轴上。3．（1）5；　　（2）。4．（1）以为圆心，为半径的圆；母线平行轴的圆柱面；　（2）椭圆；椭圆柱面，母线平行于轴；　（3）抛物线；抛物柱面，母线平行于轴。5．（1）平行于坐标面的平面；　　（2）坐标面；　（3）平行于坐标面的平面；　　（4）母线平行于轴的圆柱面；　（5）母线平行于轴且过轴，开口向轴正向的抛物柱面。6．（1）两平面的交线；　（2），是平面上的圆，圆心，半径为1；　（3），是平面上的圆，圆心，半径。习题6-21．（1）定义域为；　　（2）定

2、义域为；　（3）定义域为；　（4）对，要求，即　，对，要求，即，取公共部分，原函数定义域为。2．（1）在原点处间断；　（2）在直线上间断；　（3）在抛物线上间断。3．（1）与（2）均在平面上连续。4．（1）是初等函数定义域内的点，直接代入得极限值为；　（2）；　（3）；　（4）。5．（1）否（提示，沿直线）；　（2）否（提示，沿曲线）。习题6-31．。2．（1）；　（2）；　（3）；　（4）；　（5）；　（6）。3．提示：可求出，代入验证。4．提示：，代入验证。5．（1），　　　；　（2），　　　；　（3）　　　　　，同样　，　　　；　（4）。6．（1）；　（2）；　（3）

3、；　（4）。7．设，则，取，。8．设，则，　取，则。9．设，取，，则对角线的变化近似为　也就是对角线近似缩短5cm。习题6-41．提示：利用公式，则。2．提示：利用公式，可得；　由，可得。3．提示：利用公式，　可得。4．提示：，　即。5．　　　　所以。6．（1）设为1号中间变量，为2号中间变量，　　　则；　（2）；　（3）。7．令，则，　即。8．令，则　即。9．由于，因而，只是的函数，故。10．（1）提示，设，求出，，利用，可得；　（2）提示，设，同（1）可得；　（3）提示，设；　（4）。11．（1）由于，因而有，即，　　　　；　（2）由于，因而有，　　　　所以。12．（1

4、）由于，　　　　则，即；　（2）由于，故，　　　　则，即；　（3）由于，　　　　则，即。习题6-51．（1）提示，先求驻点，利用定理2，判定处无极值，处有极小值；　（2）提示，驻点为，利用定理2判定，为极小值；　（3），　　　由，得，　　　，在处，，因此，为极小值；在处，，因此它们都不是极值点，在处,，因此为极大值（提示：）；　（4）提示：先求驻点，利用定理2，　　　在处不取极值，在处为极小值，均为零。2．设体积为V而长方体的三条棱长为，则该问题就是在条件　　　　　　　　　　　（1）下面求函数的最大值。作函数，求其对的偏导，并令其为零，得　　　　　　　　　　　　　（2）再与

5、（1）联立求解，因都不等于零，所以由式（2）可得，　则，代入（1）式可得故在体积为V的长方体中，以棱长为的正方体的表面积为最小，最小表面积为。3．设第一段，第二段各为，于是第三段为，所以要研究的函数是而　　　　　　，　由，解得，因是惟一驻点，而实际问题的最值存在，因此线段必须三等分。4．设仓库的侧墙长为，前墙长为，高为，则仓库的造价为其中要满足条件：　由拉格朗日乘数法，设　则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由式（2）和式（3）得，即，又由式（3）和式（4）得，即。将代入式（1），解出，所以，当仓库的前墙的长度为100dm，高为75dm时，所需的造价最少。复习题

6、六*1．不妨设任意点O为坐标原点，则，且，故，所以。*2．因为，故。*3．(1)欲使垂直，即，故；（2），即，整理得　（3）同向，取；　（4）反向，无解。*4．，即，反之亦然，故与共线的充要条件是　共线。*5．。*6．设所求之点为，则依题意有，解得，因为原点到的距离为，而故舍去，则取，则所求的点为。7．，消去得――――－圆，　　消去得―――――圆，消去得―――――直线。*8．设椭球面为，将代入得故所求椭球面方程为。9．（1）；　（2）；　（3）　　　　　　。10．①先说明在点处可微，则它在该点一定连续，因为在处可微，即，所以当时，有，即在该点连续，　　②若在处两个偏导数都存

7、在，它在点却未必可微，如二元函数　　　　在处两个偏导数都存在，但它在该点不连续，因而再由①可知，该函数在该点一定不可微。11．，　　，　　左边右边。12．。13．（1）；　（2）方程两边对求偏导，可得，故，　　　　同样方法，可得；　（3）利用全微分形式的不变性。14．（1）；，所以，　　　，，有极小值；　（2）设为最小值　　　　几何意义：函数在条件下的极值，表示旋转抛物面与平面交线的最低点的竖坐标。15．距离在条件条件下的最小值，也即是求在条件条件下的最小值。设　　　　　　解方程组　　　解得，代入，得即为所求。*1