定积分的概念和性质课件.ppt

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1、§4.3定积分的概念和性质1、定积分基本概念2、定积分的性质定积分概念一、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积xy=f(x)思想方法在区间[a,b]中任取若干分点:把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间:过各分点作垂直于x轴的直线段,把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形,其中第i个小曲边梯形的面积记为xy0y=f(x)(1)分割:将曲边梯形分成许多细长条(2)取近似:将这些细长条近似地看作一个个小矩形xy0y=f(x)ξif(ξ)i(3)求和:小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得

2、和式它就是曲边梯形面积A的近似值,即xy0y=f(x)ξif(ξ)i(4)取极限:当分割无限时,所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。分割越细,就越接近于曲边梯形的面积A,当可见,曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)ξif(ξ)i小区间长度最大值趋近于零,即0(表示这些小区间的长度最大者)时,和式的极限就是A,即2、变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上t的连续函数,且,计算在此段时间内物体经过的路程。思想方法(1)分割:在区间中任取若干分点:(2)近似求和

3、:(3)取极限:(表示所有小区间的长度的最大者)把分成n个小区间:二、定积分的定义定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点:分划任取,作和式近似求和记,如果取极限存在,且极限值I不依赖于的选取,也不依赖于[a,b]的分法,则称I为f(x)在[a,b]上的定积分(简称积分),记作,即其中:f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限,b叫做积分上限;[a,b]叫做积分区间。如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,也称f(x)在[a,b]上可积

4、。否则,称f(x)在[a,b]上不可积。注:定积分的值只与被积函数以及积分区间有关,而与积分变量的记法无关。即三、函数可积的充分条件定理1若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。定理2若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。四、定积分的几何意义若f(x)≥0,则的几何意义表示由曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。一般情形,的几何意义为:它是介于x轴,曲线y=f(x),直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和。+-+

5、yb0ax定积分的性质中值定理规定(1)当a=b时,(2)当a>b时,性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即证注:此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形。性质2被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即证性质3(定积分的区间可加性)证因f(x)在区间[a,b]上可积,所以对[a,b]的任意分划,积分和的极限总是不变的。考虑[a,b]的一个特殊分划,使c作为一个分点,那么[a,b]上的积分和等于[a,c]上的积分和加[c,b]上的积分和,记为令λ→0,上式两端同时取极限,得注:不论

6、a,b,c的相对位置如何,性质3总是成立的。例如,当a

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