定积分的概念与性质 ppt课件.ppt

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1、第五章定积分—求总量的模型10xyy=x2第一节定积分的概念与性质一、问题的提出二、定积分的定义三、可积的条件四、定积分的几何意义六、小结思考题五、定积分的性质面积=?曲边三角形y=x2怎么求不规则几何图形的面积?曹冲称象法爱迪生测灯泡法化整为零化不规则为规则物理方法数学方法求极限一天，发明家爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普顿，要他算出玻璃灯泡的容积，阿普顿拿着灯炮琢磨了好长时间，于是用皮尺在灯泡上左右、上下量了一阵，又在纸上画了好多的草图，写满了各种尺寸，列了许多道算式，算来算去还未有个结果。爱迪生见他算得满头大汗，就对他说：“

2、我的上帝，你还是用这个方法算吧！”他在灯泡里倒满了水递给阿普顿说：“把这些水倒进量杯里，看一看它的体积，就是灯泡的容积了。”一、问题的提出：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系．结论：abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，当分割无限加细时，这三个图的逼近效果是一样的，即矩形总面积越来越接近曲边梯形面积．abxyoabxyo左矩形右矩形任一个矩形设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线解：1.分割把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1~n)区间长度为(i=1~n)所围成，求

3、面积A,其中f(x)在[a,b]上连续。2.近似3.求和0xyaby=f(x)4.取极限在[a,b]中任意插入n-1个分点设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线解：1.分割把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1~n)区间长度为(i=1~n)所围成，求面积A,其中f(x)在[a,b]上连续。2.近似3.求和0xyaby=f(x)4.取极限在[a,b]中任意插入n-1个分点设某物体作变速直线运动.已知速度V=V(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数.计算在这段时间内物体所经过的路程S.匀速直线运动.路程＝速

4、度×时间实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割部分路程值（3）求和（4）取极限路程的精确值某时刻的速度在每个子区间[ti-1,ti]上任取一点i（2）近似上面两例可以看出：两个不同问题所求的量，采用了同样的计算方法，最终都归结为具有相同结构的和式极限。抛开这些问题的具体意义，在数学上就抽象出定积分的概念。二、定积分的定义设函数定义在上,的任一种分法令任取若对只要时和数总趋于确定的极限I

5、,则称此极限I为函数在区间上的定积分,记作即此时称f(x)在[a,b]上可积.积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和叫做积分区间由定积分定义，例1，例2分别为：注意：1。极限存在指：任意分割，任一取点，和式极限存在且相等。2。定积分是个数值，与积分变量的符号无关，即3。规定：4。0xy=x2y解:因为y=x2在[0,1]上连续,定积分存在,将区间[0,1]n等分,分点为：?于是0xy=x2y解:因为y=x2在[0,1]上连续,定积分存在,将区间[0,1]n等分,分点为于是0xy=x2y例2.用定积分表示下列极限:解:为[

6、0,1]区间上的等分点定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]可积.定理2:设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.三、可积的充分条件1-1xyo-121.若当x[a,b]时,连续函数f(x)0bAoxyay=f(x)A四、定积分的几何和物理意义2.若当x[a,b]时,连续函数f(x)0,oxyaby=f(x)A01A所以定积分的几何意义：“有号面积”.(3)若当x[a,b]时,连续函数f(x)既取得正值,又取得负值时各部分面积的代数和四、定积分的几何和物

7、理意义表示物体(以变速V(t)(V(t)0)作直线运动)问题：1)若表示非均匀细直棒的质量密度,则表示什么？2)若y=f(x)表示变力，则表示什么？求总量的数学模型，在不同的领域有不同的应用表示非均匀细直棒的质量基本思想：实际问题所求量U转化为求U=(积分模型)在时间间隔[T1,T2]内所经过的路程s回顾曲边梯形面积A转化为定积分的计算过程：把区间[a,b]分成n个小区间,有总量A对于[a,b]具有区间可加性,计算Ai的近似值得A的近似值(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求极限.n个部分量Ai的和.ab0xyy=f(x

8、)即A可以分割成0xyaby=f(x)求总量A的数学模型问题：1)若表示非均匀细直棒的质量密度,则表示什么？2)若y=f(x)表示变力，则表示什么？求总量的数学模型，在不同的领域有不同的应用表示非均匀细直棒的质量基本思想：实际问题所求量U转化为求U