定积分的概念与性质ppt课件.ppt

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1、第四章定积分及其应用高等数学04-01-01一元函数微积分学一元函数的微分学(differentialcalculus)导数(derivative)一元函数的积分学(integralcalculus)不定积分(indefiniteintegral)定积分(definiteintegral)(函数变化率)(函数增量的线性主部)(求“原函数”)(求“和的极限”)高等数学04-01-02微分(differential)微积分概要函数——描述事物之间关系的数学模型微分——非线性问题的局部线性化积分——化整为零求和法（分割求和）极限——逼近论的辩证认识思想高等数学04-01-03化整为零

2、的求和方法：积分学高等数学04-01-04RanRnA=?A=R2刘徽割圆高等数学04-01-05割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。——晋刘徽1/n2/n3/n1xOyy=x2高等数学04-01-06第一节定积分的概念与性质高等数学04-01-07一、引出定积分概念的两个实例三、定积分的性质高等数学04-01-08二、定积分的定义一、引出定积分概念的两个实例（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程高等数学04-01-09ABOxyDCEF高等数学04-01-10设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)0，则由曲线y=f(x)

3、，直线x=a，x=b以及x轴所围成的图形S称为在[a,b]上以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形，如何计算曲边梯形S的面积A？高等数学04-01-11高等数学04-01-12Oyx1y=x2（1）分割：在区间[a,b]内任意插入n1个分点a=x0

4、等数学04-01-16（3）求和：将所有小矩形面积相加可得整个曲边梯形面积A的近似值高等数学04-01-17高等数学04-01-18xyO（4）取极限：显然，当分点越密时，这个近似值就越接近于所求面积的精确值。因而有高等数学04-01-19其中，表示小区间长度的最大值。Oxy高等数学04-01-20y=f(x)设某物体作变速直线运动，已知它的速度v=v(t)是时间间隔[a,b]上的连续函数，且v(t)0，求在这段时间内此物体所经过的路程S。高等数学04-01-21（1）分割：即把所求的路程分为n小段路程，为此，将时间区间[a,b]用分点a=t0

5、=b分为n小段[ti1,ti]，各小段时间间隔为ti=titi1(i=1,2,,n)，与此相应的是各小段路程为Si(i=1,2,,n)。高等数学04-01-22（2）近似替代：即把物体在各个小段的时间间隔[ti1,ti](i=1,2,,n)内的运动看成匀速运动，算出各小段路程的近似值。为此，在每个小区间[ti1,ti](i=1,2,,n)上任取点i(i=1,2,,n)，以v(i)代替[ti1,ti]上各个时段的速度，得到Si的近似值Siv(i)ti高等数学04-01-23（3）求和：将所有小段路程的近似值相加就可得到路程S的近似值高等数学

6、04-01-24（4）取极限：显然，当分点越密时，这个近似值就越接近于所求路程S的精确值。因而有高等数学04-01-25其中，表示各小段时间间隔的最大值。二、定积分的定义（1）定积分的定义（2）定积分的几何意义高等数学04-01-26定积分(definiteintegral)设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，在[a,b]内任意插入n1个分点a=x0

7、称这个极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作，即：记，如果不论小区间如何划分以及i如何取法，下列和式的极限高等数学04-01-28如果函数f(x)的上述极限存在，则称f(x)在区间[a,b]上可积。这里，函数f(x)称为被积函数，x称为积分变量，f(x)dx称为被积表达式，区间[a,b]称为积分区间，b与a分别称为积分上限与积分下限。和式称为积分和。高等数学04-01-29注（1）定积分的结果为一数值，该值只依赖于被积函数及积分区间，而与变量的符号无关，比如高等数学04-01