定积分的概念与性质课件.ppt

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1、§5.2定积分的概念与性质一、定积分的概念用一组(例如n+1个)分点：的长度称为分划Δ的模或细度。将区间[a,b]分为n个小区间，这组分点称为[a,b]的一个分划，细度的大小反映了分划的粗细。9/14/20211微积分定义f(x)在[a,b]有定义，Δ={x0,x1,···,xn}是[a,b]的分划，存在，且极限值与[a,b]的分划方法和点ξi的取法无关，则称f(x)在[a,b]上可积，并称此极限值为f(x)在[a,b]上的定积分，其中∫为积分符号，f(x)为被积函数，x为积分变量。[a,b]为积分区间，a称为积分下限，b称为积分

2、上限，Sn为积分和或Riemann和。9/14/20212微积分注1、定积分是一个极限，它的结果为常数，只和f(x)、[a,b]有关，和分划方法、ξi的取法无关，也与积分变量无关：2、分划越细，分点也越多。即

3、

4、Δ

5、

6、→0时，n→∞。但当3、关于可积性条件有以下结果：①f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界；②f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积(条件可减弱，如只有有限个间断点的有界函数可积)。4、当b0时，曲

7、线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积f(x)<0时，一般情况下，定积分的值表示各曲边梯形面积的代数和。如图有9/14/20214微积分二、定积分的性质推论性质3性质1性质2性质49/14/20215微积分性质5如果在区间上有,则推论1推论2性质6如果在区间上有则9/14/20216微积分性质7(积分中值定理)积分中值公式的几何解释：9/14/20217微积分例答案例答案例计算答案9/14/20218微积分定义f(x)在[a,b]上的平均值为直接用定义计算定积分是非常繁琐困难的，实际中计算定积分一般借助于不

8、定积分，为此，下面介绍不定积分的概念和计算，然后再详细说明定积分的计算。9/14/20219微积分