3、积函数被积表达式积分变量积分和符号读作函数f(x)从a到b的定积分.关于定积分定义的几点说明：(1)所谓和式极限(即函数f(x)可积)，是指无论对区间[a,b]怎样分法，也不论对点xi(i=1,2,···,n)怎样取法，极限都存在且有相同的极限值.(2)可以证明，闭区间上连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的.(3)因为定积分是和式极限，它是由函数f(x)与区间[a,b]所确定的，因此，它与积分变量的记号无关，即(4)该定义是在积分下限a小于积分上限b的情况下给出的，此时，只要把插入分点的顺序反过来写a=x0
4、>x1>x2>···>xi-1>xi>···>xn-1>xn=b由于xi-1>xi，xi=xi-xi-1<0，于是有特殊地，当a=b时，如果a>b，同样可给出定积分即可，根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：(1)曲边梯形面积A是曲边函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即(2)变速直线运动的路程s是速度函数v(x)在时间间隔[T1,T2]上的定积分，即解把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为例1（1）当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线曲边梯形的面积.（2）当f(x)
5、0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.三、定积分的几何意义A=A1+A2+A3例2、用定积分表示下列图中阴影部分的面积例3、用定积分表示由所围平面图形的面积。1o解：平面图形如右图所示例4用定积分表示由所围平面图形的面积。1o解：平面图形如右图所示A2A1由图可知因为所以解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.例5四、定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的.性质1（1）两个函数和的定积分等于它们定积分的和，即证根据定积分的定义
6、，有性质1（1）可推广到有限多个函数代数和的情况，即证明性质1（2）被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即性质2如果在区间[a,b]上f(x)1，那么性质3（积分对区间的可加性）如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b]，则性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.当c在区间[a,b]之外时，上面表达式也成立.利用定积分的几何意义，可分别求出解解解性质5如果在区间[a,b]上有f(x)≤g(x)，那么≤证由性质1与定积分的定义，知由题设得知f(xi)≤g(xi)，
7、即f(xi)-g(xi)≤0，且xi>0(i=1,2,···,n)，所以上式右端的极限值非正，从而有移项，得推论由性质5可得例比较下列各对积分值的大小：解(1)根据幂函数的性质，在[0,1]上，有由性质4，得(2)令f(x)=x-ln(1+x)，f(x)所以，f(x)≥f(0)=[x-ln(1+x)]
8、x=0=0，从而有x≥ln(1+x)，由性质4，得函数f(x)在区间[0,1]上单调增加，知由在区间[0,1]上性质5(估值定理)如果存在两个数M，m，使函数f(x)在闭区间[a,b]有m≤f(x)≤M，那么介于与
9、区间[a,b]长度为底，该性质的几何解释是：曲线y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积分别以m和M为高的两个矩形面积之间.m(b-a)≤M(b-a)．≤y=f(x)yxabmMOBA解解:令f(x)=0，得驻点x=0.比较驻点x=0，区间端点x=1的函数值，f(0)=e0=1，根据估值定理得例、估计定积分的值。最大值M=1，≤≤m(b-a
