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《定积分的概念和性质(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章定积分第一节1定积分的概念和性质引言不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要介绍的定积分则是它的另一个侧面.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.古希腊的阿基米德用“穷竭法”,我国的刘徽用“割圆术”,计算过一些几何体的面积和体积,分的雏形.直到17世纪中叶,提出了定积分的概念,的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,使定积分成为都曾这些均为定积牛顿和莱布尼茨先后并发现了积分与微分之间从而解决有关实际问题的有力工具,引言直到17世纪中叶,分的概念,给出了计算定积分的一般方法,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积并发现
2、了积分与微分之间的内在联系,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系-------微积分学.本章先从几何问题与力学问题引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质、计算方法以及定积分在几何与经济学中的应用.abxyo1面积问题（AreaProblem)问题的提出（Introduction)我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问
3、题。abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）解决问题的基本思路：变“曲”为“直”观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示
4、过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面
5、积的关系．曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为例2路程问题（DistanceProblem)把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．对于匀速运动，我们有公式路程=速度X时间解决变速运动的路程的基本思路（1）分割（3）作和（4）取极限路程的精确值(2)取点定积分的定义定义设在上有界,在中任意插入若干个分点把区间分割成个小区间,区间的长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并求和各小记如果不论对怎样的分法,
6、也不论在小区间上点怎样的取法,要当时,只和总趋于确定的极限我们称定积分的定义定义记对怎样的分法,也不论在小区间点怎样的取法,要当时,只和定的极限我们称如果不论上总趋于确这个极限区间上的定积分,记为为函数在其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分区间,与分别叫做积分上限和积分下限.定积分的定义定义积分和几点说明:(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关,即(2)定义中区间的分法和的取法是任意的.(3)当函数在区间上的定积分存在时,称在区间上可积.定积分存在定理定理1定理2若函数在区
7、间上连续,则在区间上可积.若函数在区间上有界,且只有有限个间断点,在区间则上可积.曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义abxyooyabx几何意义xyo定积分的物理意义变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的一个连续函数,且求物体在这段时间内所经过的路程变力沿直线所作功设某物体在变力作用下设的方向与位移方向相同,力轴由移动到沿变力沿直线所作功设某物体在变力作用下设的方向与位移方向相同,力轴由移动到沿的大小随而变化,且可表为的连续函数定积分的物理意义例1利用定积分的定义计算积分解因函数
8、在上连续，故可积.而定积分的值从关.为便于计算,将等分，如图，Oxyyx=21n1n2n3...n...in1n-则于是，取每个小区间的右端点为则的分法及的取法无与对区间例1利用定积分的定义计算积分解取每个小区间的右端点为则故例1利用定积分的定义计算积分解取每个小区间的右端点为则故例2利用定积分表示下列极限：解原极限Ox1n1n2...n...
