定积分的概念、性质

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1、§5.1定积分的概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质1一、定积分问题举例曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积2观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？3求曲边梯形的面积(1)分割:ax0

2、i

3、求和:(4)取极限:记max{Dt1,Dt2,,Dtn},物体所经过的路程为以不变代变5定积分的定义在小区间[xi1,xi]上任取一点xi(i1,2,,n),作和max{Dx1,Dx2,,Dxn};记Dxi=xi-xi1(i1,2,,n),ax0

4、定义6定积分各部分的名称————积分符号,f(x)———被积函数,f(x)dx——被积表达式,x————积分变量,a————积分下限,b————积分上限,[a,b]———积分区间，二、定积分定义———积分和.定积分的定义7二、定积分定义说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即定积分的定义8函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,

5、且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.二、定积分定义定积分的定义9例1用定积分表示极限解二、定积分定义定积分的定义10注:设f(x)在[0,1]上连续,则有二、定积分定义定积分的定义11这是因为曲边梯形面积曲边梯形面积的负值定积分的几何意义12各部分面积的代数和定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积的负值13例2解oxy例3求极限解原式14两点规定三、定积分的性质15这是因为三、定积分的性质性质116三、定积分的性质性质1性质2性质3注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立17三、定积分的性质性质1性质2

6、性质3性质418推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则这是因为g(x)f(x)0从而所以如果在区间[ab]上f(x)0则性质519这是因为

7、f(x)

8、f(x)

9、f(x)

10、,所以推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论220推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论2性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则21例4试证:证明设则在上,有即故即22如果函数f(x)在闭区间[a

11、b]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点x使下式成立这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)——积分中值公式由介值定理,至少存在一点x[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.23注:无论从几何上,还是从物理上,都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点x使下式成立性质7(定积分中值定理)——积分中值公式24例5计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解已知自由落体速度为故所求平均速度25例6求解26作业习题5-1(P23

12、3):6.(1)(3)8.(2)(4)27