定积分的概念与性质

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1、复习导入不定积分定积分概念性质计算应用第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法5.4广义积分5.5定积分的应用5.1定积分的概念与性质理解与掌握定积分的概念与性质；掌握牛顿－莱布尼兹公式；本章基本要求了解变上限积分函数的概念，会求变上限积分函数的导数；了解定积分概念产生的背景；约10学时掌握定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷限积分的概念，会求简单的无穷限积分；掌握定积分的几何意义。掌握定积分在经济上与几何上的应用，会求简单的实际应用问题。新课引入?我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？正方

2、形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。5.1定积分的概念与性质5.1.1两个实例规则图形?不规则图形（如图）的面积如何求？?1.曲边梯形的面积上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即　　　　．把这类几何图形定义为曲边梯形．由连续曲线所围的平面图形称为曲边梯形。与三条直线如何求曲边梯形的面积？用矩形面积近似取代曲边梯形面积基本思路:例如如何才能使这种近似代取更精确当曲边梯形的底边趋近于零时,矩形面积无限地趋近于曲边梯形的面积求曲边梯形的具体方法:将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形在每个小曲边梯形处作一个矩形近似代取小的曲边梯形1.曲边梯形的面积ab

3、xyoabxyo显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．分割点上和－下和积分近似值311.05556230.1304351.00095430.0697671.00027630.0476191.00013830.0361451.000071030.0291261.000051230.02439021.000031430.0209791.00002解决步骤：在区间［a,b］内插入n-1个分点：把区间[a,b]分成n个小区间第i个小区间的长度记为,即1.曲

4、边梯形面积的求法(1)分割在第i个小区间上任取一点矩形的面积相应小曲边梯形的面积用以,即为宽，为高的小近似代替(2)近似代替（以直代曲）(4)取极限令,则(3)近似求和将n个小矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值，即四个步骤：分割、近似代替、近似求和、取极限?且设某物体作变速直线运动,已知速度如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程？思路：在一个很短的时间间隔内，以内任意一时刻的瞬时速度近似代替该区间内任意一点的速度，即以匀速代变速。2.变速直线运动的路程解决步骤：第i个小区间的长度记为把时间区间[a,b]分成n个小区间(1)分割在区间［a,b］内插入n-

5、1个分点：(3)近似求和(2)近似代替(以匀速代变速或以不变代变)(4)取极限,则令近似代替内任意一点的速度，即以匀速代变速。两个实例2.变速直线运动的路程1.曲边梯形的面积：速度从时刻到时刻所经过的路程:四个步骤：分割、近似代替、近似求和、取极限以上两个问题虽然研究对象不同，但是从数量关系上看都是要求某种整体的量，且解决问题所用的思想方法也相同，通过：分割——把整体的问题分成局部问题；近似代替——在局部上“以直代曲或以不变代变”求出局部的近似值；近似求和——得到整体量的一个近似值；取极限——得到整体量的精确值.以上四步在数量上都归结为对某一函数施行结

6、构相同的数学运算——确定一种特殊的和式“在科学技术和生产实际中还有许多问题也都可以归结为求这种和式的极限，现在抛开其问题的实际意义，将它们数量关系上的本质特性加以概括，抽象出来得出定积分的定义.”的极限.5.1.2定积分的定义定义5·1设函数在区间上有定义，在中插入　　个分点，把区间分成个小区间每个小区间的长度依次为在每个小区间　　　上任取一点　　　　　，作函数值　　与小区间长度　的乘积，并作和式（称为积分和式）记，如果当　　时，和式的极限存在，则称这个极限值为函数　在　　上的定积分（简称积分），记作　　　，即积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量

7、积分和定理5·1闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必可积。定理5·2在闭区间[a,b]上只有有限个间断点，且有界的连续函数f(x)必可积。说明１.定积分的值与区间的分法以及点的取法无关；2.定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有3.规定４.由连续曲线轴所围成的曲边梯形的面积：.5.作变速直线运动的物体5.1.3定积分的几何意义(1)(2)有时为正，有时为负时．(3)课堂练习１：用定积分的几何意义计算。课堂练习2：用定积分表示阴影部分的面积。5.1.4定积分的简单性质性质1性质2可以推广(k为常数)性质４(积分区间可加性

8、)性质３性质５在区间上最小值和最大值,则上在区间性质６如果分别是和性质７(2)奇函数的图像关于