定积分的概念与性质(精)

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1、第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分第一节定积分的概念与性质三、定积分的性质一、定积分问题举例二、定积分的定义一、定积分问题举例曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.如何计算其面积？abxyoy=f(x)x=bx=a在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积，如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是我们需要解决的问题。解决步骤:

2、1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积元素法1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整yxoy=f(x)ab..分法越细，越接近精确值1.曲边梯形的面积f(i).元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整f(i)1.曲边梯形的面积元素法4取极

3、限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整f(i)S=.S.ab1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度vv(t)是时间t的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.(1)分割:T1t0

4、2]内所经过的路程近似为(3)求和:(4)取极限:记max{Dt1,Dt2,,Dtn},物体所经过的路程为上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题，将其一般化，就得到定积分的概念.1.定积分的定义(i1,2,,n),作和max{Dx1,Dx2,,Dxn};在小区间[xi1,xi]上任取一点xi记Dxi=xi-xi1(i1,

5、,n),个分点:ax0

6、函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2:如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.1.定积分的定义二、定积分的定义根据定积分的定义,曲边梯形的面积为ò=badxxfA)(.变速直线运动的路程为dttvSTT)(21ò=.3.定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和解把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为例1.利用定义计算定积分取,作积分和因为n1=l,当l®0时,n®¥,所以解函数y1x在区间[0,1]上的定

7、积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以例2用定积分的几何意义求两点规定三、定积分的性质性质1性质2性质3注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立性质4推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论2这是因为

8、f(x)

9、f(x)

10、f(x)

11、,所以即òò£babadxxfdxxf

12、)(

13、

14、)(

15、

16、.性质6设M及m分别是

17、函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点x,使下式成立这是因为,由性质6变形得——积分中值公式由介值定理,至少存在一点x[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.ò£-£baMdxxfabm)(1,注:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因解例3估计积分的值解例4估计积分的值