定积分的概念与性质x

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1、定积分的概念前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题——定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和——求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。重点定积分的概念和性质，微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法难点定义及换元法和分部法的运用基本要求①正确理解定积分的概念及其实际背景②记住定积分的性质并能正确地运用③掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，并会用N-L公式计算定积分，④能正确熟练地运用换元法和分部积分法⑤正确理解两类广义积分概念，并

2、会用定义计算一些较简单的广义积分。计算定积分实例1（求曲边梯形的面积）求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积将其置于直角坐标系下考察oxyabABmn问题归结为AmBbaA与AnBbaA的面积之差曲边梯形一、问题的提出abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系是越来越接近．曲边梯形如图所示曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小

3、段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值（1）分割问题以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线y=f(x)为曲边，以[a,b]为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时间区间[a,b]所走过的路程归纳它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）解决方法：通过局部取近似（求微分），求和取极限（微分的无限求和）的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用

4、中即可见到）这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念定义二、定积分的定义记为被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分和注意：定理1定理2三、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义几何意义：解例1利用定义计算定积分例2利用定义计算定积分解在[0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积为方便计，将[0,1]n等分，左侧取点等比数列证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得故对定积分的补充规定:在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限

5、的大小．说明定积分的性质一、基本内容证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2证性质1+性质2得：推广：即线性组合的定积分等于定积分的线性组合——说明定积分也具有线性运算性质补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若则（定积分对于积分区间具有可加性）性质3性质5（非负性）证性质4令于是性质5的推论：（比较定理）（1）（2）说明：可积性是显然的.解证（此性质可用于估计积分值的大致范围）解性质6（估值定理）积分中值公式证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）使即积分中值公式的几何解释：解由积分中值定理知有使例4设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明

6、①若在[a,b]上则在[a,b]上②若在[a,b]上③若在[a,b]上则在[a,b]上证明①反证法必有一点不妨设a