2012年北京大学保送生数学试题及解答.doc

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1、2012年北京大学保送生考试数学试题1．已知数列为正项等比数列，且，求的最小值．2．已知为二次函数，且成正项等比数列，求证：．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形的三边满足，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为．4．从点发出两条射线，已知直线交于两点，且（为定值），记中点为，求证：的轨迹为双曲线．5．已知满足，求证：，使．2012年北京大学保送生考试数学试题参考解答1．已知数列为正项等比数列，且，求的最小值．解：设数列的公比为，则，．由知．，当且仅当即时，有最小值．2．已知为二次函数，且成正项等

2、比数列，求证：．证法一：设，数列的公比为，则，①②③①②得，②③得．若，则；若，则与矛盾．．证法二：由成等比数列得，．三点满足，三点共线，与三点在抛物线上矛盾，．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形的三边满足，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为．解：如图所示，设正方形的边长为，，，．同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为．，，这个三角形的内接正方形边长的最小值为．4．从点发出两条射线，已知直线交于两点，且（为定值），记中点为，求证：的轨迹为双曲线．解：以的角平分线所在直线为轴建立如图所示

3、的直角坐标系．设，，，则，．，得，的轨迹为双曲线．5．已知满足，求证：，使．证明：用反证法，假设，．令，则，且．与矛盾，，使．