2009年北京大学自主招生数学试题及解答.doc

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1、2009年北京大学自主招生保送生考试数学试题第一题：圆内接四边形ABCD，其中AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求四边形ABCD外接圆的半径。第二题：已知一正无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为数列中的某一项。第三题：是否存在实数x，使tanx+与cotx+都是有理数？第四题：已知对任意实数x，acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值第五题：某次考试共有333名学生参加，一共做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，做对6道及以上为优秀，不是所有人做对的题的数量的奇偶性相同，问不及格和优秀的人数哪个多？2009年北京大

2、学自主招生保送生考试数学试题参考解答第一题：解答：设∠ADC=a,则∠ABC=π-a由余弦定理可得：AC==由此解得：代入,可得AC圆的半径为：第二题：解答：设：为满足题意的数列，那么，否则当n足够大时，会变成负数。令13,25,41分别为该数列的k1、k2、k3项，因此有：（1）（2）（3）由（1）（2）（3）可得：又，故为正整数，于是由（）d可知，2009为该数列中的某一项。第三题：解答：不存在。反设存在这样的实数x,那么令，其中，p,q为有理数。于是，得由于为有理数，因此只能是，解得这与p,q为有理数矛盾，因此不存在这样的实数x第四题：解答：令，问题转化为

3、：对任意的，都有，求的最大值。令，，此时，下面证明，那么的最大值为2令，得，，显然有（a）如果,显然有（b）如果，当时，显然有当a>0时，如果，此时利用线性规划可求得，如果，此时的对称轴，因此，即由柯西不等式综合上述，得：，综上所述，的最大值为2第五题：解答：不及格人数多设不及格有a人，优秀b人，那么做对4道或5道题的人数为333-a-b,所以至少做对了道题，有解得：如果，此时显然，那么由得到，因此，此时全体优秀的人做对了至少6*166=996道题，全体不是优秀也不是不及格的人做对了至少4*（333-166-166）=4道题，而966+4=1000，因此只能是1

4、66人做对6道题，1人做对4道题，166人做对0道题，这与不是所有人做对的题的数量的奇偶性相同矛盾，因此综上所述，即不及格人数多于优秀人数。