“华约”自主招生数学试题及解答

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1、2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题1.设复数w-(67+/)2,其中G为实数，若w的实部为2,则w的虚部为()1+Z(D)-3(A)(B)-1(C)-22222.设向量a,b,满足

2、d

3、=l,db-m,贝ij

4、a+伪

5、(fw/?)的最小值为()(A)2(B)Vl+m2(C)1(D)yjl-m23。缺4。缺5.在ABC中，三边长Q,b,(A满足o+c=3b,则tan—ctan土的值为()22(A)丄(B)丄(C)丄'2(D)一54236.如la,ABC的两条高线AD,BE交于〃，其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与相交于G,则

6、OFG与4GAH^积之比为()(A)1:4(B)1:37.设/(x)=eav(^>0).过点P(o,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=/(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点人，则APQ7?的面积的授小值是()V2eee2(A)1(B)-—(C)-(D)—2248.设双曲线Cl:^--^-=k(a>2,/c>0).椭圆C2：4+y=l-若C?的短轴长与G的实轴长的比值等于C?的离心率，则G在c?的一•条准线上截得线段的长为()(A)2』2+k(B)2(C)4^4+k(D)49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为〃种颜色Z—,使得以正六边形的

7、任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则乃的最小值为()(A)6(B)7(C)8(D)97.设定点/、B、aQ是以。点为中心的正四面体的顶点，用CT表示空间以直线CM为轴满足条件b(B)=C的旋转，用?■表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设/为过4B中点与CD中点的直线，用少表示空间以/为轴的180°旋转.设br表示变换的复合，先作7■，再作b。则e可以表示为()(A)crorocrorocT(B)cy(y(7(C)t

8、圆半径R=2.2(I)求角C的大小；(II)求ABC面积的最大值.12.设4B、C、Q为抛物线x2=4y上不同的四点，4。关于该抛物线的对称轴对称，EC平行于该抛物线在点D处的切线/.设D到直线直线MC的距离分别为已知4+仏二血

9、血>

10、・(I)判断ABC是锐角三角形、肓角三角形、钝角三角形屮的哪一种三角形，并说明理由；(II)若ABC的面积为240,求点/的坐标及直线BC的方程.13.(I)正四棱锥的体积r=—,求正四棱锥的表面积的最小值;3(II)-般地，设正〃棱锥的体积7为定值，试给出不依赖于77的一个充分必要条件，使得正77棱锥的表而积取得

11、最小值.14.假定亲本总体小三种基因型式：AA.Aa.aa的比例为u:2v:w(w>0,v>0,w>0,z/+2v+w=1).Fl.数量充分多，参与交配的亲木是该总体中随机的两个.(I)求子一代中，三种基因型式的比例；(II)子二代的三种基因型式的比例打子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由.15.设函数广(兀)=廿巴，且存在函数s=0(/)=G+%〉丄,qhO),满足二!)=空tl.x+12ts(I)证明：存在函数(二肖(s)二cs+d(s>0),满足/、(竺也)=空二1；st(II)设坷=3,£+]=/(£),=1,2,….证明：卜,厂2卜占

12、.2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案一、选择题ADCABDBD二、解答题彳+B11・解：(I)由2sin2+cos2C=l得22cos2—-1=-cos2C,2所以cosC=-(2cos2-1).即2cos2C+cosC-l=0(2cosC一l)(cosC+1)=0因为C为ABC内角所COSC+1H0,cosC=—,23(II)c=27?sinC=4又由余弦定理得c?=/+戻-2abcosC,,即12=又a2+b2-ab>2ab-ab=ab,所以abG2.ABC12=3^3,,当且仅当a=b即ABC为等边三角形时,ABC的而积取得最大

13、值3迟.12.解:(I)设A(x0，—Xq),B(x},—),C(x2,—%2)?由y=-xnJ知的斜率k=--xQ9因此可以设直线BC方程为y=—丄兀。兀+b.把y=^x2代入,整理得x2+2xox-46=O,所以X[+兀2=-2x0因为AB,AC都不平行于尹轴，所以直线AB.AC斜率之和为右（彳-X：）一球）=(%,+兀2+2兀0)=0可知肓•线AB,AC的倾角互补，而AD平行于X轴,所以平分ZCAB.作DE丄AB.DF丄4C,E,F为垂足则ADEMDF可得DE=DF由己^DE+DF=y[lAD,可nDE=y[2AD,,

14、所以ZDAE=ZDAF=45所以ZCAB=90,ABC为直角三角形（II）如图，根据的结果，可