2014年华约自主招生数学试题及参考解答.doc

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1、2014年“华约”自主招生数学试题1、设，，，，是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为，求，，，，的值．2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为（>），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q．问当为何值时，取得最大值？3、已知函数（a>0）有最大值1和最小值-4．求a、b的值．4、已知函数和的定义域都是R，设表示的反函数，表示函数与函数的复合函数，即（1）证明．（2）记，,证明：若是的反函数，则是奇函数．5、从椭圆上的动点M作圆的2条切线，切点为P和Q，直线PQ与x和y轴的交点分别为E和F，求面积的最小值。6

2、、已知数列满足，。（1）若，求的通项公式；（2）若，，求证：数列有界。7、设为正整数，证明当时，．附录：2014年“华约”自主招生数学参考解答1[解法1]设五个数任取四个，得到的五个和分别是44，45，46，47，．由题意，是44，45，46，47中的一个．又是整数，知且．从而这五个数是，，，，．[解法2]2【解法1】设甲胜的局用1表示，乙胜的局用0表示．甲取得比赛胜利的情形有：111,0111,10101.，设．则．由单调性可知，当时，取到最大值．【解法2】4、解析：5、解析：7答案：原不等式等价于：；若，则左边非正，

3、右边非负，自然成立．若，则右边，也成立，证毕．注：第7题证明中用了如下两个事实：（1）若，则；（2）若，，则．其中第二个不等式称为贝努力不等式．历年“华约”题目中围绕的不等式屡见不鲜．除上述两个结论外，（3）若，则；（或）．（4）若，则；（5）若，则．也常用在不等式的估计中．上面的不等式涵盖了指数、对数、三角函数、幂函数的一阶或高阶估计，比较全面，是值得了解的！