2014年华约自主招生数学试题及解答.pdf

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1、2014年华约自主招生数学试题1.xxxxx,,,,是正整数,任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数.1234512.乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是pp(),甲赢得比赛的概率是q,求p2为多少时,qp取得最大值.23.函数fx()(cosxsin)sin(xx)2sinaxba(0)的最大值为1,最小值为244,求ab,的值.114.(1)证明yfgx(())的反函数为yg(f())x;1(2)Fx()f(xGx),()f()x

2、,若Gx()的反函数是Fx(),证明fx()为奇函数.2014年华约自主招生·数学试题－122xy2225.已知椭圆1与圆xyb,过椭圆上一点M作圆的两切线,切点分别为22abPQ,,直线PQ与xy,轴分别交于点EF,,求SEOF的最小值.na6.已知数列{}an满足:a110,annnpqa.(1)若q1,求n;(2)若1,1pq,求证:数列{}an有界.xnx27.已知nNxn,,求证:nn(1)ex.n2014年华约自主招生·数学试题－2华约参考答案:41.【

3、解】五个数任取四个应该可以得到C5个不同的和,现条件中只有4个不同的和,故必5有两个和值相同.而这五个和值之和为4(xxxxx),是4的倍数,所以这个相同123454445464647的和值只可能是46,从而有xxxxx57,故这五个数123454分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13.32.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为p;23若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的

4、概率为Cp(1p);3232若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为Cp(1p),因此4323232qpCp(1p)Cp(1p),343232325431所以qppCp(1p)Cp(1p)p6p15p10pp,p;3425431432设fp()6p15p10pp,p,则fp()30p60p30p1,2432221即fp()30p60p30p130[pp(2p1)],302212121所以fp()30[pp(1)

5、]30(pp)(pp),3030301221又因为p(,1),所以pp,故pp0,2304112130111所以令fp()0时,即pp0,得p;30224301111又因为p(,1),所以取p,224301111111易知当p(,)时,fp()0,p(,1)时,fp()0,224302430111所以当p时,fp()有唯一极大值,也是最大值.243022213.【解】易知fx()(cosxsinx)2sinaxb

6、sinx2sinaxb,令txsin,221则问题等价于gt()t2axb在[1,1]上的最大值和最小值分别为1和4.2①当对称轴ta1,即a1时,则gt()在[1,1]上递减,则2014年华约自主招生·数学试题－31g(1)2ab1,52a,,解得4g(1)2ab14b1221g(a)ab12②当对称轴10a,即01a时,则,g(1)2ab1422消去b得aa2

7、40,解得a15(0,1),舍去.5综上①②可知,ab,1为所求.44.【解】(1)证明:由反函数定义可知yfgx(())的反函数为xfgy(()),故11111f()xf((()))fgygy(),从而g(f())xg(())gyy,11所以yg(f())x为yfgx(())的反函数.1(2)由Gx()的反函数是Fx(),故GFx(())GG(())xx,11则fx()fGFx((())),又因为Gx()f()x,所以GFx(())

8、f(Fx()),1代入得fx()fGFx((())),ff((Fx()))Fx()f(x),所以fx()为奇函数.2225.【解】设Ma(cos,sin)(b[0,2)),直线PQ为点M关于圆xyb的切点弦,其22bb方程为(cos)ax(sin)byb,从而xy,,EFacossin331bb于是Sxx,EOFEF2aasin222当且仅当M(a,b)时,上述等号成立.22nn16.【解】(1)当q