“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012).pdf

《“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题ai21．设复数w()，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）1i3113（A）（B）（C）（D）22222．设向量ab,，满足

2、

3、

4、

5、1,ababm，则

6、

7、atb()tR的最小值为（）22（A）2（B）1m（C）1（D）1m3。缺4。缺AC5．在ABC中，三边长abc,,，满足ac3b，则tantan的值为（）221112（A）（B）（C）（D）54236．如图，ABC的两条高线ADBE,交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直

8、BC于F，OH与AF相交于G，则OFG与GAH面积之比为（）（A）1:4（B）1:3（C）2:5（D）1:2ax7．设fx()e(a0)．过点Pa(,0)且平行于y轴的直线与曲线Cy:fx()的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，则PQR的面积的最小值是（）22eee（A）1（B）（C）（D）2242222xyxy8．设双曲线C:ka(2,k0)，椭圆C:1．若C的短轴长与C的实轴长122221a4a4的比值等于C的离心率，则C在C的一条准线上截得线段的长为（）212（A）22k（B

9、）2（C）44k（D）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为（）（A）6（B）7（C）8（D）910．设定点ABCD、、、是以O点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线OA为轴满足条件()BC的旋转，用表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用表示空间以l为轴的180°旋转．设表示变换的复合，先作，再作。则可以表示为（）（A）

10、（B）（C）（D）二、解答题11．2AB在ABC中，已知2sincos2C1，外接圆半径R2．2（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求ABC面积的最大值．12．2设ABCD、、、为抛物线xy4上不同的四点，AD,关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为dd,，已知dd2AD．1212（Ⅰ）判断ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（Ⅱ）若ABC的面积为240，求点A的坐标及

11、直线BC的方程．13．2（Ⅰ）正四棱锥的体积V，求正四棱锥的表面积的最小值；3（Ⅱ）一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值．14．假定亲本总体中三种基因型式：AAAaaa,,的比例为u:2:vw(u0,v0,w0,u2vw1)且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．（Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．15．xm12ts121设函数fx()，且

12、存在函数statbt(,a0)，满足f()．x12ts2st121（Ⅰ）证明：存在函数t()scsds(0),满足f()；st1（Ⅱ）设x3,xfx(),n1,2,.证明：x2．11nnnn132010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案一、选择题ADCABDBD二、解答题2AB11．解：（Ⅰ）由2sincos2C1得22C2cos1cos2,C22所以cosC(2cos1).2即2cosCCcos10(2cosCC1)(cos1)

13、0因为C为ABC内角所cosC10，1cosC，2C.33（Ⅱ）c2sinRC423.2222又由余弦定理得cab2abcos,C，22即12abab,22又abab2,ababab，所以ab12.133有SabsinCab1233,，ABC244当且仅当ab即ABC为等边三角形时，ABC的面积取得最大值33.12．解：121212（Ⅰ）设Ax(,x),(,Bxx),(,Cxx),00112244412则D(x,x)004'11由yx可知的斜率kx,02

14、21因此可以设直线BC方程为yxxb.02122把yx代入，整理得x2xx4b0,04所以xx2x120因为AB,AC都不平行于y轴，所以直线AB,AC斜率之和为112222(xx)(xx)102044kk(xx2)x0ABAC120xxxx1020可知直线ABAC,的倾角互补，而AD平行于x轴，所以AD平分CAB