2009年北大保送生考试数学试题参考解答

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1、2009年北大保送生考试数学试题参考解答2009年北人保送工考试数学试趁参考解笞(Google)2009年北大保送生考试数学试题参考解答(Dropbox)1•阴1内接四边形ABCD,AB=1.BC=2,CD=3,DA=4,求四边形ABCD外接慣］半径.解答.由AABC+AADC=7T及余弦定理有=cosZ.ABC+cosZ.ADC=0.AB2+BC2一CA2AD2+DC2一CA22AB•BC+2AD-DCcosAABC=代入数值得AC=AB2+BC2—CA22AB•BCsinAABC=日7因此由正弦定理可得四边形ABCD外扌妄圆半径r_M2sinZABCx/2310_242.已知…正无穷等差

2、数列中有3项:13,25,41.求证:2009为该数列中某•项.证明.设an=«o+nd为满足题意的数列，那么〃$0・否则当几足够大时an会变成负数.令13,25,41分别为这数列的khk2,k3项，因此有13=+k[d、(1)25=a。+k^d,(2)41=a0+,⑶由⑴⑵⑶知伙3+為一2上2)〃=4・又d》0,所以k3+k{-2福为正整数，于是由2009=41+4x492=41+492伙3+觥一2馬)d知2009为该数列中某一项.2.是否存任实数x，使得tag+辺与cotx+/3都是有理数・解答.不存在•反设存在这样的实数丄，那么令p=tanx+x/3,q=cotx+/3,其中p,g

3、为有理数.于是(p——/3)=tanxcotx=1f得(p+g)/3=pg+2・由于p+q,pq+2为有理数,因此只能是p+g=0,pg+2=0,解得p=

4、g

5、=x/2,这与p,q为有理数矛盾，因此不存在这样的实数①.2.对任意的丈数x,tn成芷a.cost+bcos2r2—1,求a+b的最丿Ml•解答.令t=COSX/问题转化为:对任意的tG上1,1],都有/(t)=2bt2+at+l-b^Of求a+6的置大值.令a/(£)=4(t+I)2~"3^0,下面我们证明a+6W2，那么a+b的最大值为2・令t=1,0,—1，得1—6^0,g+6—1,a—bWl,显然有a^b+1冬2・S丿

6、如果b^O,此时显然有a+6W0+2=2・⑹如果0vbjl・当aW0时，显然a+b^l<2・⑷当a>0时.如柴a$4»此时利用注,L%划可以、二fa+b如果aG4b,此时f(t)的对称轴一1W①=-4<02b+1—6^0-a4b46由柯西不等式综合⑷⑸知13a+b——a+bW2・综上所述fa+b的最大值为2.3.有333人号武•共做对了1000道题.做对3道及以下为不及格,做对6道及以上为优秀，不是所有人做对的题得数量的奇偶性相同•问不及格和优秀的人数哪个多？解答.不及楮的人数多.设不及格的人数为°,优秀的人数为b,那么做对4遒或者5道的人数为333-a-b,所以至少做对了66+4(333-

7、a-b)道题，有66+3(333一a—b)W1000,解得b〈a・如果a=bf此时显然a=bb即不及格的人数多于优秀的人数.■