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1、第十节函数的极值与最值 一、函数的极值及其求法1定义使得有则称为的一个极大值点(或极小值点)极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点(称为可疑极值点).称为的一个极大值(或极小值)注意2函数极值的求法定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理)定义注意:例如,设在点处具有导数,且在处取得极值,则3定理2(第一充分条件)(是极值点情形)设在点处连续,(1)若时,而时,则在点处取得极大值;(2)若时,而时,则在点处取得极
2、小值;(3)若时,的符号相同,则在点处无极值.4求极值的步骤:(不是极值点情形)5例1解列表讨论极大值极小值6图形如下7例2解8的极值.解得驻点不可导点是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为例3求函数不存在9定理3(第二充分条件)证同理可证(2).二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.设函数f(x)在点x0处具有10例4解图形如下11注意:12的极值.解:令得驻点因故为极小值;又故需用极值的第一充分条件来判别.例5.求函数13则1)当为偶数时,2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点,证定理4设f(x)在
3、点x0处具有n阶导数，且则在点取极大值;则在点取极小值.点为拐点。14故1)当为偶数时,由极限的保号性,知又得故在点取极大值。则在点取极小值.同理可证，2)当为奇数时,可证在点邻近两侧异号,故在点不取极值。15故当为奇数时,可证在点邻近两侧异号,故点为拐点。16设其中a为常数.证明:时,f(0)为f(x)的极小值;时,f(0)为f(x)的极大值.证时,f(0)为f(x)的极小值;时,f(0)为f(x)的极大值;时,例617f(0)为f(x)的极大值.18函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及
4、3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周19例7解非奇非偶函数,且无对称性.定义域（-∞，+∞）{0},20列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点21作图22小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点是可疑极值点.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)23思考与练习1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示
5、:利用极限的保号性.24在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.2.设25是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A3.设26设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f2(a)是否是f2(x)的极值.证则得f2(a)是f2(x)的极小值;不妨设f(a)是f(x)的极小值,有27由f(x)在x=a处连续，得f2(a)是f2(x)的极大值.同理可讨论f(a)是
6、f(x)的极大值的情况.由极限的保号性,知由得28试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为备用题求出该极值,并指出它是极大29练习题3031练习题答案32此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！
