工程力学 教学课件 作者 胡红玉 第9章 梁弯曲时的刚度计算.ppt

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1、第9章梁弯曲时的刚度计算对于工程中承受弯曲变形的构件，设计时除了应使其工作应力不超过材料的许用应力之外，还必须考虑由于变形过大可能会出现的问题。例如9.1挠曲线近似微分方程◆挠曲线方程：◆挠度：◆转角：挠曲线逆时针的转角为正，反之为负。向上的挠度为正，反之为负。9.1.1挠度和转角9.1挠曲线近似微分方程◆挠曲线方程：挠曲线9.1.2挠度和转角的关系9.1.3挠曲线近似微分方程一、挠曲线的曲率公式弯矩正负号规定高等数学知识讨论：挠曲线近似微分方程9.2计算梁位移的积分法◆挠曲线近似微分方程◆梁的转角方程◆梁的挠曲线方程1、

2、位移边界条件2、位移连续条件◆积分常数C、D的确定[例]受均布载荷作用的简支梁如图所示，已知抗弯刚度为常数，试求此梁的最大挠度以及截面A的转角。（1）列弯矩方程解：利用对称关系易得梁的支座反力从而得梁的弯矩方程为（2）建立转角方程和挠曲线方程将所得弯矩方程代入式（7-4），积分一次，得转角方程对式（a）再积分一次，得挠曲线方程（a）（b）（3）确定积分常数将上述位移边界条件代入分别代入式（a）、（b），解得积分常数,位移边界条件：在两端固定铰支座处，挠度为零，即将所得积分常数代入式（a）、（b），梁的转角方程和挠曲线方程分

3、别成为（c）（d）（4）计算最大挠度与截面的转角作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。考虑到结构与载荷的对称性，可知梁的挠曲线是一条关于中间截面对称的凹曲线。在中间截面，即处挠度取极值。将代入式（d），得梁的最大挠度再将代入式（c），即得截面A的转角为为负，说明其方向向下。为负，说明截面A的转角为顺时针转向。[例]如图所示简支梁，在无限接近右支座B处受到矩为的集中力偶作用，试计算梁的最大挠度。设弯曲刚度为常数。（1）列弯矩方程解：由梁的平衡方程，易得,从而得梁的弯矩方程为（2）建立转角方程和挠曲线方程将所得弯矩方程代入式

4、（7-4），积分一次，得转角方程对式（a）再积分一次，得挠曲线方程（a）（b）（3）确定积分常数将上述位移边界条件代入分别代入式（a）、（b），解得积分常数位移边界条件：在两端固定铰支座处，挠度为零，即,将所得积分常数代入式（a）、（b），梁的转角方程和挠曲线方程分别成为（c）（d）（4）计算最大挠度与截面的转角作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大挠度处的转角为零。故由式（c）有将上述值代入式（d），即得梁的最大挠度从而得最大挠度所在截面的坐标为结果为负，说明挠度方向向下。9.3计算梁位移的叠加法◆叠加法:在小变

5、形且材料服从胡克定律的情况下，梁任一截面处的挠度和转角是梁上所受外载荷的线性函数。所以当梁上有几种载荷同时作用时，可以先分别计算每一种载荷单独作用在梁上所产生的变形，然后再按照代数值相加，即可得梁的实际变形。这种方法即为计算弯曲变形的叠加法。[例]某起重机的大梁的自重为均布载荷，集度为。作用在梁跨度中点的吊重为集中力，如图所示。设梁的弯曲刚度为，试求大梁跨度中点C的挠度。，。解：在均布载荷单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表7–1第6栏中查出为在集中力单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表7–1第5栏中查出为将以上结

6、果叠加，即得在均布载荷和集中力的共同作用下，大梁跨度中点C的挠度9.4简单超静定梁一、变形比较法（1）解除多余约束，以相应的多余约束力代之作用，得到原静不定梁的相当系统；（2）根据多余约束的性质，建立变形协调方程；（3）计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得到补充方程；（4）由补充方程求出多余约束力。[例]试用变形比较法计算如图所示超静定梁的约束力，并作梁的剪力图和弯矩图。梁的、均为已知。解：（1）解除多余约束得原静不定梁的相当系统，即在已知均布载荷和未知约束力共同作用下的悬臂梁。（2）建立变形协调条件变形协

7、调条件为支座B处的挠度等于零，即（3）建立补充方程如下图所示，由叠加法，利用表7–1，得补充方程为（4）求解多余约束力由上述补充方程，解得多余约束力（5）静定分析计算根据相当系统，由平衡方程易得固定端A处的约束力,,[例]如图所示圆形截面梁，承受集中力作用。已知，跨度，截面直径，许用应力，试校核梁的强度。解：（1）解除多余约束得原静不定梁的相当系统：在已知集中力和未知约束力共同作用下的简支梁。（2）建立变形协调条件变形协调条件为支座B处的挠度等于零，即（3）建立补充方程由叠加法，式（a）成为（a）由表7–1查得，集中力单独

8、作用引起的B处挠度未知约束力单独作用引起的B处挠度（b）将上述结果代入式（b），得到补充方程（4）求解多余约束力由上述补充方程，解得多余约束力（5）强度计算根据相当系统，由平衡方程易得支座A、C的约束力,作出梁的弯矩图，可见梁的最大弯矩为于是，得梁的最大弯曲正应力故梁的强度符合要求。9.5梁的刚度条件与