线性代数 矩阵的基本概念.pdf

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1、第二章矩矩矩矩矩矩阵阵阵阵阵阵引例（（（价格矩阵（价格矩阵）））四种食品（（（food）））在三家商店）在三家商店（（（shop）））中）中中中，，，，单位量的售价可用以下数表给出单位量的售价可用以下数表给出：：：第一节基本概念F1F2F3F41771121S1矩阵概念S15913192（（（2（222----5555））））1881519S3一些特殊的矩阵这里的行表示商店，，，列为食品，，，例如第2列列列3个个个矩阵问题的例分量就是第2种食

2、品在3家商店中的3个售价。。。这个数表反映了四种食品在三家商店的售价。。。一一一、一、、、矩阵概念矩阵概念常用大写黑斜体字母如如如A、、、B、、、C，，，·····记之，，，定义1m´´´´´´n个元，，，，，，排成m行行行行行行n列列列（列列列列（列（（（横称行（（（横称行横称行，，，，，，必要时也可以用下标来区别不同的矩阵，，，纵称列）））的矩型阵列））））的矩型阵列）的矩型阵列（（（表（（（（表（表表表）表表表）））））））如如如A1，，，A2，，，·····a11a12⋯a1n另外,在不致

3、引起混淆时还常将(2(2(2-(2---1)1)1)简记作aa⋯a21222nA=[a]⋮⋮⋮(2(2(2-(2---1)1)1)1)ijam1am2⋯amn这里的aij是矩阵A的第i行第j列的代表性元称为m´´´´´´n维维维维维维的矩阵(matrix)(今后简称为该矩阵的i----j元元元)简称为m´´´´´´n矩阵.行行行：行：：：row列列列：列：：：column12---43３３３３３３××××××４４４矩阵４４４４矩阵４矩阵二

4、二二、二二二二、二、、、一些特殊的矩阵、、、一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵A===---9852矩阵A的元可以是实数也可以出现复数，，，4210我们分别称矩阵A为为为实矩阵、、、复矩阵等等等。等。。。这个３３３３３３××××××４４４矩阵４４４４矩阵４矩阵，，，有，，，，有，有有有有有有a21=-9，，，a33=1本书主要在实数范围内展开，，，除另作说明，除另作说明外外外,一般涉及的总是实矩阵。。。在叙述普遍规律或从前后文容易明确时，，，一，一一一00⋯

5、0般就不特别指所涉及矩阵的维，，，而在必要时常用元素都为零的矩00⋯0O=mn´A阵称为零矩阵⋯⋯⋯⋯mn´00⋯0表明A是是是m´´´´´´n矩阵.1(1)方阵行数和列数相同的矩阵称为方阵．．．例如(2)行矩阵和列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量).a11a12⋯a1naa⋯a如如如A=(a11a12…a1n).21222nA=.（（（2（222----2222））））⋮⋮⋮只有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量).aa⋯aa11n1n2nn

6、A称为n´´´n方阵，，，常称为，常称为n阶方阵或或或n阶矩阵，，，a21如如如B=.⋮am1作为列向量，，，常用小写黑体字母，常用小写黑体字母a，，，b,····记之，，，今后凡未作特别说明，，，讲到向量均指列向量，讲到向量均指列向量。。。而行向量则常被记作aT，，，bT,····或或或a´´´´，，，b´´´´,····。。。在用同一个字母代表不同向量时，，，常以下标区别，常以下标区别，，，a=cosθ如如如：如：：：a1,a2,······如如如（（（2（222----33

7、33））））sinθ从矩阵中元零的分布看，，，也可区分出几种常，也可区分出几种常是个2×××1的列矩阵，，，也可以当作列向量，也可以当作列向量.见的特殊形式的矩阵，，，为此先引入下面的定义。。。Ta=cos[θsinθ],是是是1×××2的行向量。。。定义2对于(2(2(2-(2---1)1)1)的的的的的的m´´´´´´n矩阵A，，，记，，，，记，记记记记记记就向量而言，，，称其元为，称其元为分量，，，分量的个数即，分量的个数即k=min{m,n},称元a11,a22，，，···，，，akk构成A为向量

8、的维。。。的的的[主主主]对角线，，，并称，并称aii为为为A的第i个对角线元。。。对于方阵，，，主对角线是自左上角到右下角的那(3)上三角阵与下三角阵根连线。。。对于方阵，，，若其非零元只出现在对角线及其，若其非零元只出现在对角线及其一般称元ai,i+1位于A的的的上对角线上上上,而元ai,i-1上上上（上（（（或右或右）））方）方方方，，，，就称为就称为上三角[形矩]阵阵阵（（（upper在在在